granica maruda:

	cos2x
lim
	sin2x − cosx

x⇒^π₂

maruda: chodzi mi o to ile to jest sin2x i cos2x z 90stopni?

maruda: o na wikipedi znalazlem cso ze: "wzory na sinus i cosinus połowy argumentu: sin2α = 2* sinα * cosα cos2α = 2* cos²α − 1 to zastosowac

gdf: 5²

Dasio11: Wystarczy podstawić, nie ma żadnych tricków. 2x=π ⇒cos(2x)=cos(π)=−1 sin(π)=0

	π
sin(		)=1
	2

	π		cos(2x)		cos(π)		−1
limx→				=		=		= −∞
	2		sin(2x)−cos(x)		π   sin(π)−cos( )   2		0−0

maruda: trik jest taki ze zeby podstawic to trzeba najpierw pochodna policzyc ale dzieki

Bogdan: A po co trzeba wyznaczać pochodną?

maruda:

	x−1
lim
	ctgx

x→0 ile to? 1?

maruda:

	1− sinx + cosx
lim
	sin2x − cosx

x→^π₂ odp; 1?

Bogdan: Pomijam zapis x→0

	x−1		1   x		sinx		1
lim		= lim		= lim(		*		) = 1 * 1 = 1
	ctgx		cosx   sinx		x		cosx

	sinx
Korzystamy tu z twierdzenia: lim		= 1 dla x→0 oraz z faktu: cos0 = 1
	x

Bogdan:

	1 − sinx + cosx		π
lim		przy x→
	sin2x − cosx		2

	π		π
1 − sinx + cosx = 1 − sin		+ cos		= 1 − 1 + 0 = 0
	2		2

	π		π
sin2x − cosx = sin(2*		− cos		= 0 − 0 = 0
	2		2

	0
Mamy więc do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym typu		, można tu zastosować
	0

	π
regułę de l'Hospitala. obliczamy pochodne w liczniku i w mianowniku dla x =		.
	2

	π		π
(1 − sinx + cosx)' = −cosx − sinx = −cos		− sin		= 0 − 1 = −1
	2		2

	π		π
(sin2x − cosx)' = 2cos2x + sinx = 2*cos(2*		) + sin		= 2*(−1) + 1 = −1
	2		2

	1 − sinx + cosx		−1
lim		=		= 1
	sin2x − cosx		−1

x→π/2