Bardzo trudne równanie trygonometryczne Bogdan-Kraków: Pani z matematyki dała dziś na lekcji takie bardzo trudne zadanie z trygonometrii i zupełnie nie wiem jak się za to zabrać. Mamy równanie sin² x + sinx = 1, dla x ∊ (0;4pi) i trzeba wliczyć sumę rozwiązań w podanym przedziale. Mam 4 odpowiedzi. Która jest poprawna? 6pi, 5pi, 4pi czy 2pi?

Bogdan: Skorzystaj z wzorów Viete'a

Bogdan: i upewnij się, czy rozwiązanie istnieje ( sinx ∊ <−1, 1> )

irena_1: sin²x+sinx−1=0 Δ=1+4=5

	−1−√5		−1+√5
sinx=		<−1 lub sinx=
	2		2

	−1+√5
0<		<1
	2

Są więc 4 takie kąty.

	π
Oznacz x1 najmniejsze rozwiązanie, czyli x1∊(0;		)
	2

Następne rozwiązania w danym przedziale to: x₂=π−x₁ x₃=2π+x₁ x₄=3π−x Suma pierwiastków: x₁+π−x₁+2π+x₁+3π−x₁=6π Prawdziwa jest pierwsza odpowiedź

PW: Rozwiążmy problem najpierw na przedziale (0,2π). sin²x+sinx=1 (1) sinx(sinx+1)=1

	3
Jeżeli sinx=−1, czyli x=		π, to równanie nie jest spełnione. Dla pozostałych x jest
	2

sinx+1>0, a więc z (1) wynika, że również musi być sinx>0. Oznacza to, że pierwiastek x₁ (o ile istnieje) jest taki, że sinx₁>0, czyli x₁∊(0,π).

	π
Na tym przedziale funkcja sinus jest symetryczna względem osi x=		, a więc istnieje
	2

	x1+x2		π
jeszcze jeden pierwiastek x2, taki że		=		, czyli x1+x2=π
	2		2

Na przedziale (2π,4π) istnieją dwa następne pierwiastki równania (1), różniące się od poprzednich o 2π, czyli x₃=x₁+2π i x₄=x₂+2π, zatem x₁+x₂+x₃+x₄ =(x₁+x₂)+(x₁+x₂)+2π+2π=π+π+2π+2π=6π, a więc zgadzam się z ireną₋1. Przyznaję bez bicia, że liczenie rozwiązań równania (1) pominąłem (napisałem: "o ile istnieje"). więc zrobię to teraz: u²+u−1=0 Δ=5,

	−1+√5
jednym z pierwiastków jest dodatnia liczba		<1 (u jest wartością funkcji sinus) ,a
	2

więc (1) ma pierwiastki. Nie poprawiam w żadnym razie świetnego rozwiązania ireny , chciałem po swojemu zobaczyć, czy nie da się tego inaczej uzasadnić, ale nasze rozumowania w gruncie rzeczy są identyczne.