Wyznaczyć asymptoty funkcji robson: Przykład 1 f(x) = 2 do potęgi −x*cos(x)−x Przykład 2

	1
f(x)=
	ex−1

Przykład 3

	x2+1
f(x)=
	x

Przykład 4

	x3
f(x)=
	x2+2x

Basia: 1. Napisz ten pierwszy przykład po ludzku. Czy to ma być 2^{−x*cos(x)−x} czy 2^−x*cos(x) − x 2. ukośne też ?

robson: Przyklad 1 korekta f(x)=2^−x*cos(x)−x

Basia: ad.2

	1
f(x) =
	ex−1

e^x−1≠0 e^x≠1 e^x≠e⁰ x≠0 funkcja ma asymptotę pionową x=0 czyli oś OY lim_x→0⁺ = +∞ lim_x→0⁻ = −∞ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1
x→+∞ ⇒ ex→+∞ ⇒ ex−1→+∞ ⇒		→0
	ex−1

	1
x→−∞ ⇒ ex→0 ⇒ ex−1→−1 ⇒		→ 1−1=−1
	ex−1

funkcja ma asymptotę poziomą prawostronną y=0 czyli oś OX i asymptotę poziomą lewostronną y=−1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f(x)		1
	=
x		x(1−ex)

	f(x)
x→+∞ ⇒ ex−1→+∞ ⇒ x(ex−1)→(+∞)*(+∞)=+∞ ⇒		→0
	x

asymptoty ukośnej prawostronnej nie będzie

	f(x)
x→−∞ ⇒ ex−1→−1 ⇒ x*(ex−1)→(−∞)*(−1)=+∞ ⇒		→0
	x

asymptoty ukośnej lewostronnej nie będzie =============================================== a z tym (1) dalej mi coś nie gra

Basia: ad.2

	x2+1
f(x) =
	x

x≠0 funkcja ma asymptotę pionową x=0 czyli oś OY

	x2+1
limx→0+		= limx→0+ (x+1x) = 0+∞=+∞
	x

	x2+1
limx→0−		= limx→0− (x+1x) = 0−∞=−∞
	x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	x2+1
limx→+∞		= limx→+∞ (x + 1x) = +∞+0 = +∞
	x

	x2+1
limx→−∞		= limx→−∞ (x + 1x) = −∞+0 = −∞
	x

asymptot poziomych nie będzie −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f(x)		x2+1		1
	=		= 1+
x		x2		x2

	f(x)
limx→±∞		= 1+0 = 1
	x

istnieje kierunek asymptotyczny m=1

	x2+1		x2+1−x2		1
f(x)−mx =		−x =		=
	x		x		x

b=lim_x→±∞[f(x)−x] = 0 asymptotą ukośną obustronną jest prosta y=mx+b czyli prosta y=x =========================================== (4) trzeba zrobić w identyczny sposób

Basia: ad.4

	x3
f(x) =
	x2+2x

x²+2x≠0 x(x+2)≠0 x≠0 ∧ x≠−2

	x3		x2
f(x) =		=
	x(x+2)		x+2

lim_x→0f(x) = ⁰₀₊₂ = ⁰₂=0 dla x=0 nie ma asymptoty pionowej

	1
x→−2+ ⇒ x→−2 ∧ x>−2 ⇒ x+2→0 ∧ x+2>0 ⇒		→+∞
	x+2

lim_x→−2⁺f(x) = (−2)²*(+∞)=4*(+∞)=+∞

	1
x→−2− ⇒ x→−2 ∧ x<−2 ⇒ x+2→0 ∧ x+2<0 ⇒		→−∞
	x+2

lim_x→−2⁻f(x) = (−2)²*(−∞)=4*(−∞)=−∞ prosta x=−2 jest asymptotą pionową −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	x2		x		+∞
limx→+∞f(x) = limx→+∞		= limx→+∞		=		= +∞
	x+2		1+2x		1+0

	x2		x		−∞
limx→−∞f(x) = limx→−∞		= limx→−∞		=		= −∞
	x+2		1+2x		1+0

funkcja nie ma asymptot poziomych −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f(x)		x2		x2
	=		=
x		x(x+2)		x2+2x

	f(x)		1		1
limx→+∞		= limx→+∞		=		=1
	x		1+2x		1+0

	f(x)		1		1
limx→−∞		= limx→−∞		=		=1
	x		1+2x		1+0

istnieje obustronny kierunek asymptotyczny m=1

	x2		x2−x(x+2)		x2−x2−2x		−2x
f(x)−mx = f(x)−x =		−x =		=		=		=
	x+2		x+2		x+2		x+2

−2
1+2x

	−2
b = limx→±∞[f(x)−x] =		= −2
	1+0

mamy asymptotę ukośną obustronną y=x−2