ciagi olo: W ciągu arytmetycznym suma kwadratów trzeciego i piątego wyrazu jest równa 50. Suma drugiego i dziesiątego jest równa 20. Wyznacz sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu.

Janek191: a₃ = a₁ + 2 r a₅ = a₁ + 4r a₂ = a₁ + r a₁0 = a₁ + 9r Mamy ( a₁ + 2r)² + ( a₁ + 4r)² = 50 a₁ + r + a₁ + 9r = 20 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2 a₁ = 20 − 10 r / : 2 a₁ = 10 − 5 r −−−−−−−− więc ( 10 − 5 r + 2r)² + ( 10 − 5 r+ 4r)² = 50 ( 10 − 3 r)² + ( 10 − r)² = 50 100 − 60 r + 9 r² + 100 − 20 r + r² = 50 10 r² − 80 r + 150 = 0 / : 10 r² − 8 r + 15 = 0 Δ = ( −8)² − 4*1*15 = 64 − 60 = 4 √Δ = 2

	8 − 2		8 + 2
r =		= 3 lub r =		= 5
	2		2

więc a₁ = 10 − 5*3 = − 5 lub a₁ = 10 − 5*5 = − 15 Mamy dwa ciągi : 1) a₁ = − 5 , r = 3 2) a₁ = − 15, r = 5 ==================== 1) a₁ = − 5 , r = 3 a₁₀₀ = a₁ + 99*r = − 5 + 99*3 = − 5 + 297 = 292 więc S₁₀₀ = 0,5*( a₁ + a₁₀₀ )*100 = 50* ( − 5 + 292) = 50*287 = 14 350 ==================================================== 2) a₁ = − 15, r = 5 a₁₀₀ = a₁ + 99*r = − 15 + 99*5 = − 15 + 495 = 480 więc S₁₀₀ = 0,5 *( − 15 + 480 )*100 = 50 *465 = 23 250 ========================================