help! Wydi: Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb x, które spełniają równość Ix−1I+Ix−3I=2. Niech B będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów 4 i 6 jest nie większa niż 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do A i do B. wyszło mi tak... A={1;2;3} B={3;4;5;6;7} A∩B={3}

Basia: Wydi nigdzie nie jest powiedziane, że to mają być liczby całkowite. Zaraz podpowiem jak powinno być.

Bogdan: Źle, jeśli Ix − 1I + Ix − 3I =2 ⇒ x∊<1, 3>.

Basia: szukamy zbioru A 1. x−1≥0 ∧ x−3≥0 ⇔ x≥1 ∧ x≥3 ⇔ x≥3 wtedy |x−1|=x−1 ∧ |x−3|=x−3 czyli x−1+x−3=2 ⇔ 2x−4=2 ⇔ 2x=6 ⇔ x=3 2. x−1≥0 ∧ x−3<0 ⇔ x≥1 ∧ x<3 wtedy |x−1|=x−1 ∧ |x−3|=−(x−3)=−x+3 czyli x−1−x+3=2 ⇔ 2=2 równanie tożsamościowe zbiorem rozwiązań jest przedział [N[<1;3)] 3. x−1<0 ∧ x−3≥0 ⇔ x<1 ∧ x≥3 niemożliwe 4. x−1<0 ∧ x−3<0 ⇔ x<1 ∧ x<3 ⇔ x<1 wtedy |x−1|=−(x−1) = −x+1 |x−3|=−(x−3)=−x+3 −x+1−x+3=2 −2x+4=2 −2x=−2 x=1 odpada bo x<1 ostatecznie A={3}∪<1;3) = <1;3> szukamy zbioru B B = {x∊R: |x−4|≤4 ∧ |x−6|≤4} |x−4|≤4 ⇔ −4 ≤ x−4 ≤ 4 ⇔ x−4 ≥−4 ∧ x−4≤4 ⇔ x≥0 ∧ x≤8 ⇔ x∊<0;8> |x−6|≤4 ⇔ −4 ≤ x−6 ≤ 4 ⇔ x−6≥−4 ∧ x−6≤4 ⇔ x≥2 ∧ x≤10 ⇔ x∊<2;10> ponieważ obie nierówności muszą być spełnione to B= <0;8>∩<2;10> B=<2;8> N[A∩B= <1;3>∩<2;8> = <2;3>]]

Wydi: Dziękuje Basia, Bogdan

Bogdan: Pokażę, jak zgrabnie rozwiązać równanie: Ix − 1I + Ix − 3I = 2. Dla x∊(−∞, 1): −(x − 1) − (x − 3) = 2 ⇒ −x + 1 − x + 3 = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1∉ −∞, 1) Brak rozwiązania. Dla x∊<1, 3): (x − 1) − (x − 3) = 2 ⇒ x − 1 − x + 3 = 2 ⇒ 2 = 2 ⇒ x∊<1, 3) Dla x∊<3, +∞): (x − 1) + (x − 3) = 2 ⇒ x − 1 + x − 3 = 2 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3∊<3, +∞) Odpowiedzią jest suma zbiorów rozwiązań poszczególnych przedziałów: Odp.: x ∊ <1, 3>.

Eta: Dobry wieczór Bogdanie. Uczyłam podobnie , tylko z takim rys. ( uwzględniającym zmianę znaków) szczególnie , gdy kolejność modułów była np. taka: I x −3I − I x +1I = 2 Co sądzisz o tym rysunku? PS: Oczywiście , teraz wykorzystałam oznaczenia przedziałów podane przez Ciebie ( kółeczka otwarte w i poza przedziałami)

Bogdan: Podoba mi się wprowadzenie linii ukośnych, które podpowiadają wstawienie do działania właściwego znaku: plus, minus. Takie narysowanie kółeczek, które są wyobrażeniem punktów, wyraźnie pokazuje przynależność punktu do określonego przedziału.

Eta:

Miś: Zbiór to: B={x∊R: I x − 4 I + I x − 6 I ≤ 4}. Jak to się rozwiąże to wychodzi: B={x∊R: x∊<3;7>}

Bogdan: Ix − 4I + Ix − 6I ≤ 4 Dla x∊(−∞, 4): −(x − 4) − (x − 6) ≤ 4 ⇒ −x + 4 − x + 6 ≤ 4 ⇒ 2x ≥ 6 ⇒ x ≥ 3 Dla x∊<4, 6): (x − 4) − (x − 6) ≤ 4 ⇒ x − 4 − x + 6 ≤ 4 ⇒ 2 ≤ 4 ⇒ x∊<4, 6) Dla x∊<6, +∞): x − 4 + x − 6 ≤ 4 ⇒ 2x ≤ 14 ⇒ x ≤ 7 Odp.: x∊<3, 7>