równanie kwadratowe Zuzaa: Dla jakich wartosci paramteru m rownanie x²−4|x| + m² −5 = 0 ma wa rozne rozwizania?

Rodney: I. x<0 x²+4x+m²−5=0 Δ=... ? II. x≥0 ....=0 ? Δ=... ? Taka podpowiedz wystarczy?

Rodney: Przepraszam, chyba jednak nie podalem dobrej metody

jikA: Podstawienie |x| = t ≥ 0 warunki Δ > 0 ∧ t₁t₂ < 0.

Cusack: Wydaje mi się, że 2 rozwiązania będą gdy dla x>0 będzie dokładnie 1 rozwiązanie. Wykres jest symetryczny względem osi igreków więc dla x<0 też będzie rozwiązanie. Ale jest późno i mogę się mylić

Cusack: ale jikA się nie pomylił

welldonee: nie rozumiem nic z tegoo masakkkra

Cusack: na moje nie zwracaj uwagi − jest źle.

jikA: Czego nie rozumiesz?

Zuza: skąd to t1t2 < 0 ii w ogole co podstawić za to 2, skąd to się bierze? nie mozna tego zrobic na przedzialach?

Zuza: za to t co podstawić*

jikA: A po co na przedziałach skoro można zrobić proste podstawienie które nam daję łatwość w rozwiązaniu? Znasz wzory Viete'a dla funkcji kwadratowej? Jeżeli podstawiamy za |x| = t ≥ 0 to x² = |x|² = t².

Zuza: znam no jasne że znam w ogol ogolnie nie mam klopoto w z matmą ale kompletnie paradsokalnie nie wiem jak to robić O.O no ico jak podstawie to t? bede miala x2 − 4t + m2 −5 i?

jikA: Przecież wyżej napisałem co się dzieje z x².

Zuza: AAAAAAAAAAAAAA

Zuza: jejku, przepraszam dziekujeee ! juz po prostu chyba za pozno jest dzieki!

Zuza: ale w sumie skoro dwa rozne rozwiazania, to dlaczeogo iloczyn ujemny? przecie oba mogą być dodatnie?

jikA: A co byś otrzymała jeżeli iloczyn był by dodatni?

Zuza: ?

jikA: Jeżeli masz iloczyn to może zajść sytuacja (+) * (+) = + lub (−) * (−) = +. Ale co byś dostała jeżeli obydwa pierwiastki były by większe od zera?

Zuza: no dodatni iloczyn

jikA: Ale co w taki razie dostaniesz jeżeli obydwa pierwiastki t₁ oraz t₂ będą większe od zera? Wróć do podstawiania na początku i zobacz co dostaniesz jeżeli przykładowo t₁ = 1 a t₂ = 2.

Zuza: nie wiem..

jikA: Ale czego nie wiesz?

Zuza: Ale co w taki razie dostaniesz jeżeli obydwa pierwiastki t1 oraz t2 będą większe od zera? − jak to co dostane? no nie wiem co dostane no

jikA: Jakie ostatecznie otrzymasz pierwiastki jeżeli wrócisz z podstawieniem które pisałem na początku zadania jeżeli t₁ = 1 oraz t₂ = 2.

Zuza: 1,−1,2,−2?

jikA: Czyli ile masz w sumie pierwiastków?

Zuza: cztrey,, a powinny być dwa...

Zuza: i wychodzi przedział od minus pierw. z pięciu do pieriwastka z pięciu. ale w rozwiązaniu jest że jeszcze nalezy 3 i −3, ale skąd?

Zuza: delta powinna byc rowna zero tak?

jikA: Tak jeszcze jest jeden przypadek na dwa różne miejsca zerowe. Δ = 0 ∧ t_o > 0.

Zuza: okej, już mam. dziekuje bardzoooooooooo

pigor: Dla jakich wartości parametru m równanie x²−4|x|+m²−5=0 ma dwa różne rozwiązania ? no to cóż, nie widzę konkretnego rozwiązania, to może pokażę jak to widzę, otóż dane równanie ma 2 różne rozwiązania ⇔ x²−4|x|+m²−5=0 /+4 ⇔ ⇔ |x|²−4|x|+4+m²−5=4 ⇔ (|x|−2)²=9−m² ⇔ ||x|−2|=√9−m² ⇔ 9−m²=0 i |x|−2=0 ⇔ ⇔ |m|=3 i |x|=2 ⇒ x= ±2 − 2 różne rozwiązania ⇔ m∊{−3,3} . ...

jikA: pigor niestety ale Twoja odpowiedź jest niekompletna.

jikA: Zobacz że przykładowo dla m = 0 też dostaniesz dwa różne rozwiązania.

anmario: Moim zdaniem najlepiej rozpatrzyć cztery przypadki: Zakładamy: x₁, x₂: rozwiązania tego równania i teraz: 1. x₁ > 0 i x₂ > 0 wtedy mamy do rozważenia jedno równanie: x²−4x + m² −5 = 0 które ma dwa różne rozwiązania, kiedy Δ>0. Z otrzymanego zbioru rozwiązań należy zachować tylko te liczby m, dla których oba pierwiastki równania są większe od zero (wzory Viete'a, albo ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego obliczyć m spełniające warunek x₁>0 i x₂>0) 2. x₁ > 0 i x₂ < 0 wtedy mamy do rozważenia dwa równania: x²−4x + m² −5 = 0 oraz x² + 4x + m² −5 = 0 które mają dwa różne rozwiązania, kiedy Δ>0. Z otrzymanego zbioru rozwiązań należy zachować tylko te liczby m, dla których pierwiastki pierwszego równania są większe od zera a pierwiastki drugiego są mniejsze od zera. Dalej już chyba jasne.

jikA: Po co cztery przypadki skoro można dwa?

jikA: Ale jak to mówię jak kto lubi jak kto woli.

anmario: Nie można

jikA: ||x| − 2| = √9 − m² |x| = √9 − m² − 2 ∨ |x| = −√9 − m² − 2 Teraz rozpatrując przypadki jeżeli √9 − m² − 2 < 0 ∧ −√9 − m² − 2 > 0 jednak to nie zajdzie jeżeli √9 − m² − 2 > 0 ∧ −√9 − m² − 2 < 0 9 − m² > 4 ∧ √9 − m² > −2 m ∊ (−√5 ; √5) ∧ m ∊ (−3 ; 3) ⇒ m ∊ (−√5 ; √5) jeżeli √9 − m² = 0 ⇒ m ∊ {−3 ; 3}. Teraz Twoje rozwiązanie pigor jest . Sposób ciekawy i nieschematyczny ale jak widać jest to wyprowadzenie na wzory Viete'a. Pozdrawiam.

jikA: anmario jak nie można dwóch przecież wyżej napisałem dwa przypadki 1^o Δ > 0 ∧ t₁t₂ < 0 2^o Δ = 0 ∧ t_o > 0.

anmario: Zgadza się Nie widziałem Twojego pomysłu kiedy pisałem to powyżej.

jikA: Ale dobrze są zaprezentowane aż trzy sposoby rozwiązania. Teraz czekać jak Eta zrobi graficznie i będą cztery sposoby.

pigor: tak, jika masz rację, dziękuję − u mnie za mało − a więc 2 różne będą jeszcze wtedy, gdy równanie kwadratowe |x|²−4|x|+m²−5=0 o niewiadomej |x| , czyli kwadratowe ze względu na |x| będzie miało 2 rozwiązania różnych znaków, czyli Δ>0 i |x|₁>0 i |x|₂<0 zmiennej |x|, a to będzie miało miejsce ⇔ |m|<√6 i i |x|₁*|x|₂= c= m²−5<0 ⇔ |m|<√6 i |m|<√5 ⇔ |m|<√5 ⇔ m∊(−√5;√5) . ...