wielomiany jednej zmiennej Kinga: Pomóżcie proszę! Nie wiem jak mam to udowodnić. Odp to a) i c). Niech W(x) = x³ + a²x +1 oraz Q(x) = x³ + (b−1)x² +x+1. Zatem: a) istnieją tyko dwie takie pary liczb (a,b), że wielomiany W(x) i Q(x) są równe; b) istnieje tylko jedna taka para liczb (a,b), że wielomian W(x) − Q(x) jest wielomianem zerowym c) istnieje nieskońćzenie wiele takich par liczb (a,b), że wielomian W(x) − Q(x) jest wielomianem stopnia pierwszego. Nie chodzi mi o podanie rozwiązania ale wskazówek jak zrobić.

PW: Wielomiany są równe (mają te same wartości dla wszystkich x∊R) wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki przy tych samych potęgach x. Np. w W jest 1x³ i w Q jest 1x³ (na razie dobrze)

Kinga: czyli rozumiem, że w tym przypadku mamy: a=1 a=1 b=0 b=b−1 c=a² c=1 d=1 d=1 tak? czy nie o to chodzi? mam to porównać w jakiś sposób?

Edyta PK: wielomiany są równe, gdy odpowiednie współczynniki są równe a₃, a₀ są równe, gdy a₂ i a₁ będą równe, to wielomiany też dla W(x) a₂=0, dla Q(x) a₂=b−1 dla W(x) a₁=a², dla Q(x) a₁=1

Edyta PK: tak musisz sprawdzić kiedy współczynniki są równe

Kinga: aha. ok. już zaczaiłam dzięki wielkie. Jesteście wielcy. a z tym podpunktem c to jak to mam zrobić. Coś mi chodzi po głowie, że W(x)−Q(x) = ax+b, dobrze? Jak to rozwiązać.?

Edyta PK: żeby różnica danych wielomianów był stopnia pierwszego, to w Q(x) współczynnik przy x² musi być równy zero (b−1=0), a współczynnik a₁ w W(x) różny od 1

Kinga: albo inaczej. teraz mnie oświeciło. z obliczeń wychodzi mi, że: W(x)=x³+x+1 i Q(x)=x³ +x+1 jak teraz będę je chciała odjąć od siebie to wyjdzie mi, że 0=0. Czy to oznacza, że istnieje nieskońćzenie wiele takich par liczb (a,b), że wielomian W(x) − Q(x) jest wielomianem stopnia pierwszego?

Edyta PK: różnica wielomianów ma być wielomianem stopnia pierwszego, więc z odejmowania musi Ci zostać wielomian postaci ax+b

Kinga: aha. rozumiem. wiem już o co chodzi tylko nie wiem jak to ułożyć w logiczną całość.

Edyta PK: nieskończenie wiele par liczb, bierze się stąd, że b=1, natomiast "a" może być dowolną liczbą różną od 1

Kinga: W(x)−Q(x) = ax+b (x³+a²x+1) − (x³ + (b−1)x² +x+1) = ax+b mogę w ten sposób to rozwiązać?

Edyta PK: możesz napisać, że współczynniki a₃, a₂ obu wielomianów muszą być sobie równe, natomiast współczynniki a₁ muszą być różne a_3W=a_3Q a_2W=a_2Q a_1W≠a_1Q

Edyta PK: tak możesz tylko weź inne "literki", bo a i b z prawej strony to zupełnie inne liczby niż te z prawej strony

PW: Po prostu a) i c) to są zupełnie różne zadania, w a) wielomiany miały być równe, zaś w b) wręcz przeciwnie − różnica ma być wielomianem stopnia pierwszego. O 20:24 usiłowałaś zrobić z tego jedno zadanie.

Kinga: czyli teraz mogę podstawić. x³ + a²x +1 − x3 − (1−1)x² −x−1 =ax+1 a²x −x = ax+1 tak? dobrze robię?

Kinga: aha ok. czyli ma być.: x3 + a2x +1 − x3 − (1−1)x2 −x−1 =cx+d a2x −x = cx+d

Edyta PK: musisz dać założenie, że c≠0, więc a²−1≠0, stąd a²≠1 czyli a≠1 i a≠−1, więc współczynnik a₁≠1

Edyta PK: d w naszym przypadku wynosi 0