poprawka maruda:

	x2		y2
Elipsa o równaniu		+		=1 przechodzi przez punkt P(3, 12/5) i jest styczna do
	a2		b2

prostej 4x+5y=25 w punkcie A. Znaleźć półosie elipsy i współrzędne punktu A.

Basia: Nie pomyliłeś (pomyliłaś) się gdzieś w treści ? Bo koszmarne rachunki wychodzą.

maruda: no moim zdaniem to zadanie jest ogoleni bezsensownie ulozone nawet tak powiedzialem mojej prowadzacej a ona nie zwracajac na to uwagi powiedziala ze wszystko okey i dala 0 pkt na kole

Basia: Nie jest bezsensowne i da się rozwiązać tylko rachunki są parszywe.

Basia: P należy do elipsy i z tego masz

9		144
	+		=1 /*25a2b2
a2		25b2

225b² + 144a² = 25a²b² a²b² = 9b² + ¹⁴⁴₂₅a² ponieważ prosta jest styczna do elipsy to układ równań {elipsa, prosta} musi mieć jedno i tylko jedno rozwiązanie 5y = 25−4x y = 5−⁴₅x

x2		(5−45x)2
	+		= 1 /*a2*b2
a2		b2

b²*x² + a²*(25−8x+¹⁶₂₅x²) = a²*b² (b² + ¹⁶₂₅)x² − 8a²x + 25a² = 9b² + ¹⁴⁴₂₅a² (b² + ¹⁶₂₅)x² − 8a²x + 25a² − 9b² − ¹⁴⁴₂₅a² = 0 (b² + ¹⁶₂₅)x² − 8a²x + ⁴⁸¹₂₅a² − 9b² = 0 Δ= 64a⁴ − 4(b²+¹⁶₂₅)(⁴⁸¹₂₅−9b²) Δ=0 stąd dostaniesz drugą zależność między a i b ale rachunki jak widzisz okropne

Basia: Δ=64a² − 4(b²+¹⁶₂₅)*(⁴⁸¹₂₅a²−9b²) a i tak nie jestem pewna czy się nie pomyliłam

Bogdan: a = 5, b = 3

maruda: Bogdan moglbys napisac cos wiecej jak to dalej czy co?

Bogdan: Podam sposób postępowania bez szczegółowych obliczeń.

x2		y2		b		−b
	+		= 1 ⇒ y =		√a2 − x2 lub y =		√a2 − x2
a2		b2		a		a

a > 0, b > 0 Ze względu na położenie punktu P w pierwszej ćwiartce oraz położenie stycznej

	−4		b
y =		x + 5, do dalszych rozważań bierzemy y =		√a2 − x2
	5		a

	12
Dla punktu P = (3,		):
	5

9		144   25		144a2
	+		= 1 ⇒ b2 =
a2		b2		25(a2 − 9)

Założenie: a > 3 Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy pochodnej funkcji w punkcie styczności.

	−bx
y' =
	a√a2 − x2

−bx		−4
	=
a√a2 − x2		5

Z tej równości przy wykorzystaniu wcześniej wyznaczonego b² otrzymujemy: x² = a² − 9 oraz x = √a² − 9, to jest odcięta punktu styczności. Po wstawieniu x = √a² − 9 do równania stycznej otrzymujemy rzędną punktu styczności:

	4
y =		√a2 − 9 + 5.
	5

	4		144a2
Punkt styczności A = (√a2 − 9;		√a2 − 9 + 5) oraz b2 =
	5		25(a2 − 9)

	x2		y2
spełniają równanie elipsy		+		= 1.
	a2		b2

Wstawiamy więc te liczby do równania elipsy w miejsce x², y², b² i obliczamy a.

x2		y2
	+		= 1
a2		b2