elo cze: rozwiąż nieróność |2−x|+|x+2|≤2x+4

Kaja:

	⎧	2−x gdy x<=2
|2−x|=	⎩	−2+x gdy x>2

	⎧	x+2 gdy x>=−2
|x+2|=	⎩	−x−2 gdy x<−2

rozpatrujemy następujące przypadki: 1.x<−2. wtedy mamy 2−x−x−2<=2x+4 −2x<=2x+4 −4x<=4 x>=−1 ale też x<−2 więc tu nie ma rozwiązania 2.x∊<−2,2>. wtedy 2−x+x+2<=2x+4 −2x<=0 x>=0 i x∊<−2,2> więc x∊<0,2> 3.x>2. wtedy −2+x+x+2<=2x+4 0<=4 i x>2 więc tu rozwiązaniem jest x>2 ostatecznie rozwiązaniem jest x>=0.

PW: Zdradzę pewien "szatański pomysł" możliwy do zastosowania w niektórych takich zadaniach. Wiadomo, że dla dowolnych a i b rzeczywistych prawdziwa jest nierówność |a+b|≤|a|+|b| Stosując ją do a=2−x i b=x+2 dostajemy |2−x+x+2|≤|2−x|+|x+2|, to znaczy 4 ≤ |2−x|+|x+2|. Widzimy więc, że lewa strona nierówności − oznaczmy ją symbolem u − jest co najmniej równa 4: 4 ≤ u ≤ 2x+4 Ostatnia nierówność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy x≥0. Odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla x≥0. Od razu odpowiadam na najczęściej zadawane pytanie: "A skąd ja niby miałem być taki mądry?" Autor zadania podpowiadał pisząc |2−x| zamiast |x−2|. Należało się zastanowić − dlaczego "wbrew wrodzonemu poczuciu porządku" napisał tak, a nie inaczej. Musicie przyznać, że jest to sposób piękny − nie ma tego paskudnego "rozbijania na przedziały" i wynik jest o wiele szybciej, a to na egzaminie maturalnym jest bardzo ważne.

PW: Uwaga: Stwierdzenie Ostatnia nierówność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy x≥0 zawiera pewien skrót myślowy, trzeba się nad tym zastanowić i ewentualnie rozwinąć. Chciałem pokazać niestandardowy pomysł, ale i tak wątpię, żeby standardowy uczeń chciał go stosować.