Ciąg arytmetyczny dowód das: Suma n początkowych wyrazów ciągu a_n dla każdego n∊N₊, określona jest wzorem S_n=2n² − 14n. a)Wykaż, że (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

das: Niechcący kliknąłem enter i się wysłało, a chciałem spytać czy mój dowód jest właściwy.. S₁=a₁ S₂=a₁ + a₂ S₁=−12 −−−> a₁=−12 S₂=−20 −20=−12+a₂ a₂=−8 Z tego wyliczam r=4 i teraz a_n+1 − a_n= 4(n+1)−16−(4n−16)= 4n+4−16−4n+16=4=r Czyli różnica dla każdego n jest stała czyli ciąg jest arytmetyczny. Takie uzasadnienie wystarczy?

irena_1: S_n=2n²−14n S_n−1=2(n−1)²−14(n−1)=2(n²−2n+1)−14n+14=2n²−4n+2−14n+1=2n²−18n+3 S_n−S_n−1=a_n a_n=2n²−14n−2n²+18n−3=4n+3 a_n+1=4(n+1)+3=4n+4+3=4n+7 a_n+1−a_n=4n+7−4n−3=4 ∊ R Ciąg jest arytmetyczny

PW: S_n−S{n−1)= 2n²−14n − 2(n−1)²+14(n−1) = 2n²−14n−2n²+4n−1+14n−14=4n−15 Z definicji S_n wynika, że S_n−S_n−1=a_n, zatem ciąg jest określony wzorem a_n=4n−15, jest arytmetyczny − łatwo to udowodnić badając różnicę dowolnych 2 kolejnych wyrazów (lub korzystając z faktu, że f(x)=4x−15 jest funkcją liniową).

PW: das − Twoje rozumowanie jest złe (korzystasz z tego, że ciąg jest arytmetyczny, a to przecież miałeś właśnie udowodnić). Nie możesz z faktu, że a₂−a₁=4 wyciągać wniosku, że tak jest dla wszystkich kolejnych wyrazów, np. że a₂₀₁₃−a₂₀₁₂=4..

das: Fakt, rzeczywiście.. czyli słusznie napisałem tu z wątpliwościami a z czego wynika to S_n−S_n−1=a_n?

PW: Tak jak pisałem − z definicji S_n − jest to suma n−początkowych wyrazów ciągu. S_n zawiera o jeden składnik więcej niż S_n−1.