Zbadaj monotoniczność funkcji. wajdzik: Na podstawie definicji zbadaj monotoniczność funkcji.

	x−3
f(x)=		w przedziale (−∞,−1).
	x+1

Za bardzo nie pamiętam jak to mogę zrobić jeśli chodzi o badanie monotoniczności. x₁∊R, x₂∊R i x₁<x₂ f(x₁)−f(x₂):

	x1−3		x2−3
f(x−1)−f(x2)=		−
	x1+1		x2+1

Czy w dobrym kierunku idę?

wajdzik: Czy mógłby ktoś pomóc?

wajdzik: ?

Krzysiek: ok, teraz sprowadź do wspólnego mianownika

PW: Dojdziesz do dobrego rezultatu w ten sposób, ale poradzę coś praktycznego:

	x−3		x+1−4		4
f(x)=		=		= 1 −
	x+1		x+1		x+1

− teraz obliczenie f(x₁)−f(x₂) będzie znacznie przyjemniejsze.

wajdzik:

(x1−3)(x2+1)−(x2−3)(x1+1)
(x1+1)(x2+1)

Sprowadzone.

wajdzik: PW, dzięki. Na początku tak zaczynałem robić ale odstawiłem to na bok. Aczkolwiek pójdę tym tropem bo na pewno jest łatwiej.

wajdzik:

	4		4		−4(x2+1)+4(x1+1)
A więc: f(x1)−f(x2)=1−		−1+		=
	x1+1		x2+1		(x1+1)(x2+1)

wajdzik:

−4x2−4+4x1+4		−4x2+4x1
	=
(x1+1)(x2+1)		(x1+1)(x2+1)

wajdzik:

−4(x2−x1)
(x1+1)(x2+1)

wajdzik: I co dalej? Muszę dojść do tego co jest rozwiązaniem tak? Czym się najszybciej posłużyć?

PW: No i teraz wnioski − trzeba założyć, że np. x₂>x₁ i pokazać, czy cały ułamek przy takim założeniu (i uwzględnieniu dziedziny) jest dodatni, czy ujemny.

wajdzik:

−4(x2−x1)
	>0
(x1+1)(x2+1)

x₁−x₂<0, bo x₁<x₂ f(x₁)−f(x₂)>0, czyli f(x₁)>f(x₂). Oznacza to, że funkcja jest ujemna. Czyż nie?

wajdzik: ?

PW: Przecież badasz monotoniczność. Co to znaczy, że x₁<x₂ ⇒ f(x₁)−f(x₂)>0, czyli x₁<x₂ ⇒ f(x₁)>f(x₂)

wajdzik: Chodzi o to, że funkcja jest malejąca!

wajdzik: Tak?

PW: Byłoby wszystko dobrze, ale w oszacowaniu ułamka jest błąd: licznik jest ujemny, mianownik dodatni (w mianowniku są dwie liczby ujemne mnożone przez siebie − patrz dziedzina!). Powinno być więc x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2) − funkcja jest rosnąca.

	4		1
Umiesz przecież narysować funkcję		, a potem −		+1 − będzie to ładna ilustracja
	x+1		x+1

do wyliczeń.

wajdzik: D=R\{−1}. Teraz gdy widzę też oszacowania to mogę stwierdzić, że monotoniczność funkcji występuje w przedziale (−∞,−1). Nie muszę rysować wykresów no nie?

PW: Nie, nie było tego w poleceniu zadania.

wajdzik: dzięki wielkie, myślę, że wszystko zrozumiałem. Zabieram się za kolejne przykłady.