Udowodnij, że nie istnieje trójkąt o wyskośćiach: 3,4,5. n03: Udowodnij, że nie istnieje trójkąt o wyskośćiach: 3,4,5.

AS: Opieram się na takich założeniach a,b,c − boki trójkąta , S − pole trójkąta , p = (a + b + c)/2 − połowa obwodu Jeżeli trójkąt o bokach a,b,c istnieje to musi zachodzić p − a > 0 , p − b > 0 , p − c > 0 Pole trójkąta S = 3*a/2 = 4*b/2 = 5*c/2 Stąd mamy a = 2*S/3 , b = 2*S/4 , c = 2*S/5 Połowa obwodu

	1		1
p =		*(2*S/3 + 2*S/4 + 2*S/5} =		*2*S*(1/3 + 1/4 + 1/5)
	2		2

	47*S
p =
	60

Sprawdzam warunki

	47*S		2*S		7*S
p − a =		−		=		> 0
	60		3		60

	47*S		2*S		17*S
p − b =		−		=		> 0
	60		4		60

	47*S		2*S		23*S
p − c =		−		=		> 0
	60		5		60

Z tego wynika,że można zbudować trójkąt o wysokościach 3,4,5.

Eta: witam Można też tak: jeżeli trójkąt o bokach a, b, c istnieje ; a>0 , b>0 c>0 to spełniony jest układ warunków: ( nierówność trójkąta) 1) a +b >c i 2) a+c >b i 3) b+c >a

	a*3		b*4		c*5
PΔ=		i PΔ=		i PΔ=
	2		2		2

zatem z porównania wartości pól otrzymamy: 3a = 4b => a = ⁴₃b i 4b = 5c => c = ⁴₅b to: 1) ⁴₃b +b > ⁴₅b −−−−− spełniony 2) ⁴₃b +⁴₅b > b −−−− spełniony 3) b + ⁴₅b > ⁴₃b −−− spełniony odp: taki trójkąt istnieje.

Bogdan: Dołączam do Was Eto i Asie i korzystam z zasady zastosowanej przez Etę, ale inaczej ją prezentuję w rozwiązaniu. P − pole trójkąta.

	1		2P		20
P =		3a ⇒ a =		= 2P*
	2		3		60

	1		2P		15
P =		4b ⇒ b =		= 2P*
	2		4		60

	1		2P		12
P =		5c ⇒ c =		= 2P*
	2		5		60

Z warunku trójkąta:

	20		15		12		20		27
a < b + c ⇒ 2P*		< 2P*		+ 2P*		⇒		<		, ok
	60		60		60		60		60

	15		20		12		15		32
b < a + c ⇒ 2P*		< 2P*		+ 2P*		⇒		<		, ok
	60		60		60		60		60

	12		20		15		12		35
c < a + b ⇒ 2P*		< 2P*		+ 2P*		⇒		<		, ok
	60		60		60		60		60

Warunek trójkąta jest spełniony.

Eta: