Wykazanie - dla jakich mamy a Mikołajek: Wiadomo, że P(A|B) = P(B|A), P(A U B) = 1 i P(A ∩ B) > 0. Dla jakich a mamy zawsze P(A) > a?

	1
Odp. to a ≤
	2

Ale jak to pokazać?

PW: Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego

	P(A∩B)
P(A|B)=
	P(B)

	P(B∩A)
P(B|A)=		,
	P(A)

a więc z pierwszego warunku zadania wynika

	P(A∩B)		P(B∩A)
		=		;
	P(B)		P(A)

biorąc pod uwagę, że P(A∩B)=P(B∩A) widzimy, że P(A∩B)[P(B)−P(A)]=0. Z trzeciego warunku zadania wynika, że dopuszczalne jest podzielenie przez P(A∩B), co daje P(B)−P(A)=0, P(A)=P(B). Skojarzenie tej równości z drugim założeniem podanym w treści zadania pozwala wywnioskować, że skoro P(A)+P(B)−P(A∩B) = P(A∪B) 2P(A)−P(A∩B) = 1, to 2P(A)>1 (bo P(A∩B)>0), czyli

	1
P(A)>		.
	2

co należało wykazać.

Mikołajek: Bardzo dziękuję za pomoc. Szczegółowo wyjaśnione Super! Doskonale rozumiem, tylko jednej rzeczy nie rozumiem, bo nie wiem skąd się wzięło. Chodzi mi o: P(A∩B)[P(B)−P(A)]=0 Skąd wziąłeś P(B)−P(A) w tym równaniu?

PW: Wymnożyłem przez mianowniki i przeniosłem na jedną stronę.

Mikołajek: Nie bardzo rozumiem, piszesz, że P(A∩B)=P(B∩A), a następnie P(A∩B)[P(B)−P(A)]=0 Dla mnie byłoby tak: P(A∩B)=P(B∩A) ⇒P(A∩B)−P(B∩A)=0 Zrobiłbym na krzyż: P(A∩B) * P(A) = P(B∩A) * P(B) P(A∩B) * P(A) − P(B∩A) * P(B) no i dalej nie wiem Kurczę, tylko tego nie rozumiem, a resztę doskonale. Jeśli możesz, to bardzo ładnie proszę, o rozpisanie tego jak to obliczyłeś.

PW: P(A∩B)=P(B∩A) to oczywistość − część wspólna A i B to to samo, co część wspólna B i A, ale musiałem napisać dla formalności.Mamy więc równość

	P(A∩B)		P(A∩B
		=
	P(B)		P(A)

Po wymnożeniu przez mianowniki P(A∩B)P(A)=P(A∩B)P(B) − teraz wszystko na lewą stronę i wyłączyć P(A∩B)