funkcja kwadratowa ahu8: 1. Wykaż, że jeżeli m≠n oraz funkcje f(x)=x²+(m+1)x+n i g(x)=x²+(n+1)x+m mają wspólne miejsce zerowe to m+n=−2. 2. Wykres funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c jest symetryczny względem prostej x+1=0, a różnica miejsc zerowych wynosi 2. Zbiór wartości to przedział <−2,∞). Oblicz wartości współczynników a,b,c. (z moich domysłów wynika,że f(x')=f(−x)=ax²−bx+c i tutaj mam wątpliwości, bo c są sobie równe, a przecież symetria to x=−1, więc przecięcia z osią OY nie mogą być sobie równe) Bardzo proszę o jakieś wskazówki, bo nie wiem od czego zacząć.

Basia: ad1. jeżeli funkcje mają wspólne miejsce zerowe to istnieje takie x₀ dla którego f(x₀) = 0 i g(x₀) = 0 ⇒ istnieje takie x₀ dla którego f(x₀)=g(x₀) czyli istnieje takie x₀ dla którego x₀²+(m+1)x₀+n = x₀²+(n+1)x₀+m (m+1)x₀ − (n+1)x₀ = m−n (m+1−n−1)x₀ = m−n (m−n)*x₀ = m−n ponieważ m−n≠0 jest to możliwe ⇔ x₀ = 1 czyli f(1) = 0 i g(1) = 0 a z tego już wyniknie to co masz udowodnić

ahu8: 1+m+1+n=0 −2=m+n takie bardzo na myślenie to zadanie, tylko zastanawiam się skąd to wiadomo, że 1 jest pierwiastkiem ?

Basia: ad.2 prosta x = −1 jest osią symetrii paraboli i ta funkcja nie jest parzysta tzn. nie jest tak jak piszesz, że f(x) = f(−x) skoro x=−1 jest osią symetrii paraboli to miejsca zerowe są symetryczne względem punktu

	x1+x2
P(−1;0)) a z tego wynika, że		= −1
	2

no i masz układ równań x₁+x₂ = −2 x₁−x₂ = 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2x₁ = 0 x₁ = 0 x₂ = −2 czyli f(0) = c = 0 i funkcja ma postać f(x) = ax² − bx = x(ax−b) stąd −2(−2a−b) = 0 −2a − b = 0 b = −2a czyli masz f(x) = ax² + 2ax W(−1;−2) f(−1) = −2 a*(−1)² + 2a*(−1) = −2 −a = −2 a=2 b = −4 c=0

Basia: ad.16:07 z równania (m−n)x₀ = m−n

	m−n
ponieważ m≠n ⇒ m−n≠0 dzielimy więc przez m−n i mamy x0 =		= 1
	m−n

ahu8: pięknie dziękuję za wytłumaczenie, za chęć! muszę to teraz ogarnąć na swój babski rozum, bo te zadania nie sa dla mnie łatwe