... Kasia: w ciągu arytmetycznym suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem Sn=2n² − 7n Wyznacz wzór ogólny tego ciągu

ICSP: a wiesz że : a_n = S_n − S_n−1 ?

Kasia: nie rozumiem tego ? proszę o pomoc w rozwiązaniu ...

ICSP: ja niestety dopiero za 4 godziny będę mógł coś pomóc

Emilia: okej dzięki,to jak będziesz miał czas to napisz tu ...bo nie mogę zrozumieć

PW: S_k+1=2(k+1)²−(7k+1) S_k=2k²−7k S_k+1−S_k=2(k+1)²−7(k+1) − (2k²−7k S_k+1−S_k=2k²+4k+2−7k−7−2k²+7k S_k+1−S_k=4k−5 Ponieważ dla dowolnej k∊N liczba S_k oznacza sumę a₁+a₂+...+a_k, zaś S_k+1=a₁+a₂+...+a_k+a_k+1 [o jeden składnik więcej], to różnica S_k+1−S_k=a_k+1 Widać więc, że a_k+1=4k−5, a jeśli wolisz n zamiast (k+1), to a_n=4(n−1)−5, czyli (1) a_n=4n−9 Jeżeli jesteś przekonana (co sugeruje treść zadania, ale przecież bywają podchwytliwe), że ciąg określony wzorem (1) jest ciągiem arytmetycznym, to odpowiedź jest właśnie taka. Ale rachunki sprawdź, może się gdzieś pomyliłem?

Saizou : ja miło że powiedzieli że jest to ciąg arytmetyczny, wówczas a₁=S₁=2*1²−7*1=2−7=−5 a₂=S₂−S₁=(2*2²−7*2)−(−5)=(8−14)+5=−6+5=−1 r=a₂−a₁=−1+5=4 a_n=a₁+(n−1)r a_n=−5+(n−1)4 a_n=4n−9

Krzysiek : Mamy taka sume S_n=2n²−7n Wiec suma wyrazu pierwszego rowna sie wyrazowi pierwszemu Zapiszemy ze S₁=a₁ Mozemy zatem policzyc ile jest rowny wyraz a₁ podstawiajac do wzoeru na sume za n=1 . NO to zrobmy to a₁=2*1²−7*1=2−7=−5 Wiec a₁=−5 to S₁=−5 bo S₁=a₁ No to teraz policzmy ile jest rowna suma 2 wyrazow tego ciagu czyli S₂ Wobec tego mozemy zapisac ze S₂=a₂+S₁ No to policzmy ile rowna sie a₂ podstwiajac do wzoru na sume S_n za n =2 to a₂= 2*2²−7*2=2*4−14=−6 Mamy a₂=−6 mamy tez wyliczona S₁ to suma S₂=a₂+S₁=−6−5=−11 Teraz skup sie dobrze Mamy wzor S₂=a₂+S₁ to z tego a₂=S₂−S₁ No to sprawdzny czy to wyszlo nam to samo a₂=S₂−S₁= a₂=−11−(−5)=−11+5=−6 i to samo nam wyszlo ze a₂=−6 Teraz policzny sume 3 wyrazow ciagu . Wobec tego mozemy zapisac ze S₃=a₃+S₂ to policzmy ile jest rowny trzecie wyraz ciagu a₃ podstawiajac do wzoru za n=3 a₃=2*3²−7*3=2*9−21=18−21=−3 . Mamy policzone a₃=−3 mamy dana sume S₂=−11 no to S₃=a₃+S₂=−3+(−11)=−14 −−−−−−−−−popatrz z tego wzoru a₃=S₃−S₂ i mozesz liczyc sobie tak dalej az CI sie znudzi. NO ale my nie bedziemy tego robic bo xaraz do pracy trza isc wiec Wiadomo ze a₁,a₂,a₃ itd sa to wyrazy poczatkowqe ciagu Mamy tak a₁=S₁ a₂=S₂−S₁−−−−−−−−−−−1=2−1 a₃=S₃−S₂ i jakbysmy dalej to rozpisywali to a₄=S₄−S₃ −−−−−−−−zobacz 3=4−1 a₅=S₅−S₄ itd Widzisz to ze np wyraz piaty jest rowny sumie pieciu wyrazow S₅ − suma 4 wyrazow S₄ a 4 jest o 1 mniejsze od 5 inaczej 4=5−1 Jedziemy tak dalej i dochodzimy do wyrazu n_tego wobec tego zapiszmy to tak a_n=S_n− S_n−1. Kapujesz to Teraz masz S_n=2n²−7n Teraz musimy policzyc ile jest rowne S_n−1 zeby wyznaczyc a_n Musisz teraz w miejsce n we wzorze na S_n wpisac (n−1) to wobec tego S_n−1=2*(n−1)²−7*(n−1) S_n−1=2*(n²−2n+1)−7n+7 to juz policz a potem zrob odejmowanie i wyznacz a_n