oblicz calke nieoznaczona Kama: oblicz calke ∫(√1−x²)³dx

Roman: Spróbuj podstawienia x=sint dx=cost

Kama: ale przeciez tu nie mam zadnego sinusa i cosinus.

Kama: Jak to obliczyc?

huehuehue: robiac tak jak Roman to wyjedziemy na cos takiego x=sint dx=costdt ∫cost√(1−sin²t)³dt

Artur_z_miasta_Neptuna: bardziej namacalnie będzie Kamie przez części: u' = 1 ; v = (√1−x²)³

	3
u = x ; v' =		√1−x2*2x
	2

i jeszcze raz przez części

Krzysiek: lub skorzystać z gotowych podstawień na tego typu całki. http://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82kowanie_przez_podstawienie#Ca.C5.82kowanie_r.C3.B3.C5.BCniczek_dwumiennych

Kama: Artur_zmiasta_Neptuna: doszłąm do czegos takiego −3x√1−x²+3∫x²√1−x² i co dalej?

Mila: Kamo a metodę, nieoznaczonych współczynników miałaś?

Kama: Miałam ale we wzorze pierwiastek byl w mianowniku

Mila:

	√1−x2
∫√(1−x2)3dx=∫(1−x2)√1−x2dx dla x∊(−1,1) mnożę przez
	√1−x2

	(1−x2)*(1−x2)
=∫		dx
	√1−x2

	1−2x2+x4
∫		dx= przewiduję rozwiązanie postaci:
	√1−x2

	A
=(ax3+bx2+cx+d)*√1−x2+∫		dx= różniczkuję obustronnie
	√1−x2

1−2x2+x4		ax3+bx2+cx+d		A
	=(3ax2+2bx+c)*√1−x2+		*(−x)+
√1−x2		√1−x2		√1−x2

sprowadzam lewą stronę do wspólnego mianownika

1−2x2+x4		(3ax2+2bx+c)*(1−x2)−ax4−bx3−cx2−dx+A
	=
√1−x2		√1−x2

porównuję liczniki x⁴−2x²+1=3ax²+2bx+c−3ax⁴−2bx³−cx²−ax⁴−bx³−cx²−dx+A x⁴−2x²+1=x⁴*(−4a)+x³*(−3b)+x²*(3a−2c)+x(2b−d)+(c+A)

	−1		5		3
a=		, b=0 ,d=0, 3a−2c=−2⇒c=		⇒A=
	4		8		8

	1−2x2+x4		1		5		3		dx
∫		dx=(−		x3+		x+)√1−x2+		∫		=
	√1−x2		4		8		8		√1−x2

	1		5		3
=(−		x3+		x+)√1−x2+		arcsinx+C
	4		8		8

Kama: bardzo dziękuje

Mila: Z jakich to studiów?