liczby całkowite Mariusz: Proszę o pomoc i wskazówki do zadań Zad 1 wykaż że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3 , to p²−1 jest liczbą podzielną przez 24 wywnioskowałem że p²−1=(p+1)(p−1) i że są to liczby parzyste ale nie wiem co dalej Zad 2 wykaż że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n równiez ma tę własność. a²+b²=n 5n=5(a²+b²) Z góry dzięki za pomoc

tim: Skąd te zadania?

boxik: Odp. dla Mariusza p−1 czyli 5−1=4, p+1=5+1=6 zaś 4*6=24 itd następna liczba pierwsza to i zas 6*8=48 to liczba podzielna przez 24 czyli dowodzik indukcyjny

boxik: drugie masz dobrze tylko=5a² +5b²

Mariusz: ale tak na liczbach to nie można trzeba napsać rozwiązanie Drugie też nie jest dokończone. Czekam na pomoc

tim: A ja na odpowiedź...

Mariusz: Z KIEŁBASY pewnie wiesz o czym mówie

Bogdan: Wyjaśnienia boxika nie są właściwe. 1. Weźmy trzy kolejne liczby naturalne: p − 1, p, p + 1, gdzie p jest liczbą pierwszą większą od 3. Mamy wykazać, że p² − 1 jest podzielne przez 24. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest zawsze jedna podzielna przez 3. Nie może nią być liczba p, bo p jest liczbą pierwszą większą od 3. Liczbą podzielna przez 3 może być p − 1 albo p + 1. Iloczyn tych dwóch liczb jest więc też podzielny przez 3, bo jedna z nich jest wielokrotnością 3. Ten iloczyn to: (p − 1)(p + 1) = p² − 1. Wiemy już, że p² − 1 jest liczbą podzielną przez 3. Trzeba jeszcze wykazać, że p² − 1 jest podzielny przez 8. Liczba p jest nieparzysta, jest więc postaci 2k + 1, k∊N. p² − 1 = (2k + 1)² − 1 = 4k² + 4k + 1 − 1 + 4k² + 4k = 4k(k + 1). Liczby k oraz k + 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, a więc wśród nich jest jedna podzielna przez 2, stąd 4*k*(k +1) jest podzielne przez 8. Iloczyn (p − 1)(p + 1) = p² − 1 jest podzielny przez 3 i jest podzielny przez 8, a więc jest podzielny przez 24. 2. n = a² + b². mamy wykazać, że liczba 5n jest sumą dwóch kwadratów. Weźmy liczby: 2a − b oraz a + 2b. (2a−b)² + (a+2b)² = 4a²−4ab+b² + a²+4ab+4b² = 5a²+5b² = 5(a²+b²) = 5n. Liczba 5n jest sumą kwadratów dwóch liczb: 2a − b i a + 2b..

Mariusz: Dziękuje Bogdan