3Pytania? andrew: Pierwsze pytanie to, czy istnieje sposób na wyznaczenie a₁ z a₇ równego np. 125, nie musząc dzielić nieustannie przez q ktore w tym przypadku wynosi 5? Drugie pytanie brzmi, jak mogę wyznaczyć iloraz ciągu geometrycznego q mając takie dane, a₁ = 6 zaś a₅ = ²₂₇? Trzecie pytanie a właściwie zdanie wygląda następująco, wyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego (a_n) wiedząc, że a₅ − a₃ = 1680 a a₃ + a₄ = 560. Próbowałem sam uzyskać odpowiedzi na te pytania z pomocą podręcznika i zadań zawartych na tej stronie, lecz niestety mi się nie powiodło, z gory dziękuję za waszą uprzejmą pomoc.

Bogdan:

	an
1. an = a1qn−1 ⇒ a1 =
	qn−1

	53		1
a7 = 125 = 53 ⇒ 53 = a1*56 ⇒ a1 =		= 53−6 = 5−3 =		.
	56		125

2. a₁ = 6

	2		2
a5 =		⇒		= 6*q4 ⇒
	27		27

	2   27		27		2		1		1		1
⇒ q4 =		*		=		=		=		=
	6		27		6*27		3*27		81		34

	1		1		1		1
q4 =		⇒ q4 −		= 0 ⇒ (q2 −		)(q2 +		) = 0 ⇒
	34		34		32		32

	1		1		1
⇒ (q −		)(q +		)(q2 +		) = 0,
	3		3		32

	1		1
q =		lub q = −
	3		3

3. Trzeba rozwiązać układ równań: 1. a₅ − a₃ = 1680 ⇒ a₁q⁴ − a₁q² = 1680 ⇒ a₁q²(q² − 1) = 1680 2. a₃ + a₄ = 560 ⇒ a₁q² + a₁q³ = 560 ⇒ a₁q²(1 + q) = 560 Dzielimy równania stronami:

a1q2(q2 − 1)		1680
	=		, a1 ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ −1.
a1q2(1 + q)		560

a1q2(q − 1)(q + 1)		1680
	=
a1q2(1 + q)		560

Po skróceniu otrzymujemy: q − 1 = 3 ⇒ q = 4 Wstawiamy obliczone q do jednego z równań układu:

	560
a1q2(1 + q) = 560 ⇒ a1 * 16 * 5 = 560 ⇒ a1 =		= 7
	80

Odp.: a₁ = 7, q = 4