Logarytmy. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n≥2 zachodzi nierówność. wiki: Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n≥2 zachodzi nierówność: log_n2*log_n4*log_n6*...*log_n(2n − 2) ≤ 1

Vax: Zauważ, że dla a ∊ [2;2n−2] mamy:

	logn a + logn (2n−a)		logn(a(2n−a))
logn a * logn (2n−a) ≤ (		)2 = (		)2 ≤
	2		2

	logn n2
(		)2 = 1
	2

	x+y
(dwukrotnie korzystamy z nierówności xy ≤ (		)2
	2

Wymnażasz takie nierówności dla a=2,3,...,n−1 oraz przez 1 = log_n n i dostajesz tezę.

wiki: dzieki wielkie.

wiki: mam jeszcze pytanie. bo jakos nie moge ogarnac jak przez to wymnozenie powstanie teza zadania.

Vax: Tam gdzie pisałem a=2,3,..,n−1 mała literówka ma być a=2,4,...,2(n−1), mamy wtedy: log_n2 * log_n(2n−2) ≤ 1 log_n4 * log_n(2n−4) ≤ 1 ... log_n(2n−2) * log_n2 ≤ 1 Mnożymy stronami i dostajemy: (log_n2log_n4...log_n(2n−2))² ≤ 1 A stąd log_n2log_n4...log_n(2n−2) ≤ 1

wiki: teraz rozumiem. dzieki jeszcze raz. ; )