parametr Licealista D: Dla jakich wartości parametru m równanie tg³x + 1 = m(tg²x + tgx) ma dokładnie dwa pierwiastki należące do przedziału (−^π₂ ; ^π₂)

jikA: tg³(x) + 1 = m(tg²(x) + tg(x)) (tg(x) + 1)(tg²(x) − tg(x) + 1) = mtg(x)(tg(x) + 1) (tg(x) + 1)(tg²(x) − tg(x) + 1) − mtg(x)(tg(x) + 1) = 0 (tg(x) + 1)(tg² − tg(x) + 1 − mtg(x)) = 0 (tg(x) + 1)(tg²(x) − (m + 1)tg(x) + 1) = 0

	π
Jak widać mam rozwiązanie tg(x) + 1 = 0 ⇒ tg(x) = −1 ⇒ x = −		+ k * π
	4

	π		π		π
u nas x ∊ ( −		;		) tak więc x = −		.
	2		2		4

Dalej chyba wiesz jak już robić czy nie?

Licealista D:

tg3x + 1
	= m
tg2x + tgx

tg3x + 1
	= m
tgx*(tgx + 1)

Licealista D: Właśnie do końca nie mogę zrozumieć tg(x) = − 1 to jeden pierwiastek równania?

Licealista D: Domyślam się, że muszę wyliczyć dla jakiego m delta ma być równa 0 w tym drugim równaniu

jikA: Tak jeden pierwiastek.

jikA: Tak.

jikA: I założyć że −1 nie będzie rozwiązaniem tego równania równania.

Licealista D: W pytaniu dla jakich wartości parametru m, więc: Dla m= √5 −1 i m= −√5 −1

Licealista D: Nie, źle skopałem jedno obliczenie, chwileczkę

Licealista D: m=1 m=−3

jikA: Dla m = −3 dostaniesz jedno rozwiązanie.

jikA: Niech f(x) = tg²(x) − (m + 1)tg(x) + 1 po podstawieniu za tg(x) = t otrzymamy f(t) = t² − (m + 1)t + 1 teraz zakładamy że f(−1) ≠ 0 ∧ Δ = 0 f(−1) = (−1)² − (m + 1) * (−1) + 1 = m + 3 m + 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ −3. Δ = 0 ...

jikA: Jeszcze może być inny przypadek dla Δ > 0 jeżeli jeden z pierwiastków jest równy −1 a drugi będzie różny od −1. t₁t₂ = 1 −t₂ = 1 ⇒ t₂ = −1 Otrzymaliśmy że taka sytuacja u nas nie zajdzie.