trygonometria ahu8: rozwiąż równanie: sinx+cosx=1+sin2x x∊<0,2π> (czy mogę to podnieś obustronnie do kwadratu, bo wyłączając przed nawias √2 po lewej nic mi nie wychodzi) wyznacz wszystkie wartości m dla których sin⁴x+cos⁴x=m ma rozwiązania rozpisuję: (sin²x+cos²x)²−2sin²xcos²x=m 1−2sin²xcos²x=m 1−sin²2x=m

ahu8: a może tak: 1−2sin²x(1−sin²x)=m 1−2sin^x−2sin⁴x=m −2sin⁴x−2sin²x+1=m sin^x=t −2t²−2t+1=m Δ4+8=12 2√2 tylko, że nie ma takich wartości dla sin jakie z tego wychodzą... pomożecie?

Mila: 2) [sin(2x)]²=[2sinxcosx]²=4sin²x cos²x 1−2sin²xcos²x=m⇔

	1
1−		sin2(2x)=m
	2

	1
−		sin2(2x)=m−1 /*(−2)
	2

sin²(2x)=2−2m 0≤2−2m≤1

ahu8: ok, rozumiem skąd się to wzięło, dziękuję!

ahu8: ponawiam pytanie, czy sinx+cosx=1+sin2x mogę podnieść obustronnie do kwadratu? sin²x+2sinxcosx+cos²=1+2sinxcosx+4sin²xcos²x 1=4sin²xcos²x 1=4sin²x(1−sin²x) 1=4sin²x−4sin⁴x 4sin⁴x−4sin²x+1=0 Δ= 16−16=0 p= 1/2 sin²x=1/2 sinx=+− √2/2

Mila: Pierwsze też ładnie się rozwiązuje.

ahu8: łoo, co za błędy robię! dochodze do tego: 4sin²xcos²x+2sinxcosx=0

Mila: Możesz podnieść, masz błędy rachunkowe. licz jeszcze raz z prawej podnieś (1+sin2x), sin²x+cos²x=1

ahu8: 1+sin2x=1+2sinxcosx=()²= 1+4sinxcosx+4sin²xcos²x

Mila: sin²x+2sinx cosx+cos²x=1+2sin(2x)+sin²(2x) 1+sin(2x)=1+2sin(2x)+sin²(2x) sin²(2x)+sin(2x)=0 sin(2x)*(sin(2x)+1)=0 sin(2x)=0 lub sin(2x)=−1 ([nie bój się (2x) ] Teraz idę robić kolację, powodzenia.

ahu8: 2x=π T=π i patrzę na wykres dzięki wielkie! smacznego!

Mila: Patrz na wykres sin(x)., to łatwiej i rozwiązuj warunki 1) sin2x=−1

	3
2x=		π+2kπ
	2

	3
x=		π+kπ i sprawdź dla jakiego k masz rozwiązanie w podanym przedziale.
	4

2) sin (2x)=0 2x=0+kπ

	kπ		π		2π
x=		⇔x=0 lub x=		lub x=		=π lub ..
	2		2		2

I teraz sprawdź, czy te liczby są rozwiązaniami, bo lewa strona mogła być ujemna. Znajde, inny sposób to podam.

pigor: ..., a możesz np. tak : sinx+cosx= 1+sin2x ⇔ sinx+cosx= (sinx+cosx)² ⇔ ⇔ (sinx+cosx)²− 1(sinx+cosx)= 0 ⇔ (sinx+cosx)(sinx+cosx+1)= 0 ⇔ ⇔ sinx+cosx=0 lub 2sin^x₂cos^x₂+2cos^2x₂=0 ⇔ ⇔ sinx=−cosx lub cos^x₂(sin^x₂+cos^x₂)= 0 ⇔ ⇔ tgx=−1 lub cos^x₂=0 lub tg^x₂=−1 teraz może narysuj sobie w danym przedziale "co nieco" i odczytaj szukane rozwiązanie . ..

Mila: II sposób sinx +cosx=sin²x+cos²x+2sinx cosx sinx+cosx=(sinx+cosx)² (sinx+cosx)²−(sinx+cosx)=0 (sinx+cosx)*(sinx+cosx−1)=0 sinx+cosx=0 lub sinx+cosx=1 dokończ

Mila: Pigor jesteśmy jednomyślni.