Wielomiany Licealista D: Wielomian W(x)= x³ + 3px + q ma pierwiastek dwukrotny. Znajdź związek między p i q. Wielomian z pierwiastkiem dwukrotnym a(x−3p)(x−q)² . a = 1 Czy jeżeli tak podstawie będzie dobrze ?

akante: nic nie rozumiem

Licealista D: a(x−3p)(x−q)² jest źle. Ale jak znaleźć związek między p i q . hmm

akante: informacja o pierwiastku dwukrotnym napewno tutaj cos nam ma dac ale co

akante: ja nie jestem orłem sorry ale staram sie latac wysoko!

zombi: Spróbuj (x−a)²(x−b)=x³+3px+q dostaniesz jakiś układ równań i postaraj się 'wyliczyć p i q, może tak pójdzie

Licealista D: Z tego doszedłem do: b+2a = 0 2ab + a² = 3p −a²b = q

Licealista D: Nie wiem, czy to jest związek między q i p ale :

q
	= −2a (a − pierwiastek dwukrotny równania)
p

zombi: Wiem też mi to wyszło, ze wzorów Vieta to samo.

akante: fenomen ale ktos moglb to ladnie ubrac w slowa? i opisac tak zeby mniej scisly moj biedny umysl ogarnal wszystko od p do konca napewno przyczyni sie to do lepszego zrozumienia przez was samych!

akante: p i q to nie bylo przypadkiem cos z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych gdzie p jest dzielnikiem q albo na owdrot?

Eta: Taki jest ten związek: 4p³+q²=0

Licealista D: A wytłumaczysz na jakiś obliczeniach?

zombi: q=p(−2a) ² q²=p²*4*a² wiedząc, że a²=−3p q²+12p³=0 tak mi wyszło inaczej niż Ecie

zombi: Początek miał wyglądać q=p(−2a)

Eta: Ze wzorów Viete^'a dla równania stopnia trzeciego: ax³+bx²+cx+d=0

	−b
(*) x1+x2+x3=
	a

	c
(**) x1*x1+x1*x3+x2*x3=
	a

	−d
(***) x1*x2*x3=
	a

x₁=x₂ −−− bo pierwiastek dwukrotny z treści zadania (*) ⇒ 2x₁+x₃=0 ⇒ x₃= −2x₁ (**) ⇒ −3 x₁²= 3p ⇒ p= −x₁² /³ ⇒ p³= −x₁⁶ /*4 ⇒ 4p³=−4x₁⁶ (***) ⇒ −2x₁³=−q ⇒ q= 2x₁³ /² ⇒q²= 4x₁⁶ dodając stronami : 4p³+q²=0 Czy taką masz odpowiedź?

Vax: Inny sposób. Niech ,,a" będzie wspólnym pierwiastkiem, wiemy, że ,,a" jest 2'krotnym pierwiastkiem W wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem W oraz W' (i nie jest W''), mamy więc: 0 = W(a) = a³+3pa+q 0 = W'(a) = 3a²+3p ⇔ a²+p=0 ⇔ p = −a² z 1 równania mamy 0 = a(a²+p)+2ap+q = 2ap+q = −2a³+q ⇔ q = 2a³ Więc p = −a² ⇔ 4p³ = −4a⁶, oraz q = 2a³ ⇔ q² = 4a⁶, więc W posiada dwukrotny pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy 4p³ + q² = 0

Skipper: ... a można i tak: x+2a (x³+3px+q) : (x²−2ax+a²) −x³+2ax²−a²x 2ax²+x(3p−a²)+q −2ax²+4a²x−2a³ Zatem wielomian będzie miał pierwiastek podwójny x₁=x₂=a i trzeci pierwiastek x₃=−2a dla: 3p−a²+4a²=0 ⇒ 3p=−3a² ⇒ p=−a² i q=2a³ dalej jak u Vax−a ....do 4p³+q²=0

Skipper: Licealista D ... możesz "zdradzić" skąd jest to zadanko?

Licealista D: A dokładnie nie wiem. Mam kopie ręczne zadań Czyli z moich obliczeń q=2a³ p=−a² , czyli dobrze i potem muszę sprowadzić pierwiastek a − żeby był jednakowy dla p i q, czyli wtedy będzie "podwójny" dobrze myślę

zombi: No tak booże pochodne takie oczywiste, czemu chciałem się bawić w wymnażanie...

Licealista D: Chyba sam się wezmę za te pochodne, bo widzę, że w wielu sytuacjach pomagają...

Skipper: ... jak widzisz ... w tym zadanku można poradzić sobie bez pochodnych i bez wzorów Viete'a dla równań stopnia 3−go. Sama znajomość pochodnych daje niewiele. Dopiero ich zastosowanie w analizie matematycznej ...

zombi: Ale do tego typu zadań zawsze się przydają, bo szybciej wychodzi

Eta: