Min i max Makaveli: Wartość najmniejsza i największa. Dla funkcji f0;5]→R, gdzie f(x)= x³+3x²−24x+4 wyznaczyć wartość najmniejszą i największą.

Makaveli: Sory za tego emota, miało być f: [0;5], ale z drugiej strony myślę że ten emot dobrze odzwierciedla mój humor co do tego zadania

Makaveli: odswiezam

Jack: pochodne policz i zbadaj zachowanie funkcji (ogranicz się, o ile to możliwe, do wskazanego przedziału).

Makaveli: A jak zbadać owe zachowanie funkcji? na czym to polega?

Mila: f(x)= x³+3x²−24x+4 1) pochodna f'(x)=3x²+6x−24 2) miejsce zerowe pochodnej 3x²+6x−24=0 x²+2x−8=0, Δ=4+32=36

	−2−6		−2+6
x=		=−4 lub x=		=2
	2		2

3) znak pochodnej 3x²+6x−24>0 3(x+4)(x−2)>0 f '(x)>0 dla x<−4 lub x>2 dla podanych x funkcja f(x) rosnąca W przedziale [0,5] funkcja f(x) ma ma ekstremum w punkcie x=2 − minimum f(2)=2³+3*2²−24*2+4=8+12−48+4=−24 wartość najmniejsza wartość największą liczymy na końcach przedziału f(0)=4, f(5)=5³+3*5²−24*5+4=84 wartość największa w przedziale [0,5]

zombi:

Makaveli: No mistrzostwo, dziekuje bardzo. Mam jeszcze jedno pytanie, czy zawsze przy min i max nalezy wyznaczac pochodna? a w przypadku gdy niema mozliwosci obliczenia delty, co nalezy robic?

zombi: Jak nie ma kwadratowej to lecisz z pochodnych

Makaveli: to znaczy ze po policzeniu pochodnej, podstawiam po prostu te liczby z przedzialu? w tym przypadku to by byly [0,5], tak?

zombi: ekstramow szukasz tak ze f'(x)=0 przyrownujemy pochodna do zera i otrzymujemy jakies wyniki i w zaleznosci czy w tych punktach funkcja zmienia znak z + na − czy − na plus mamy minimum lub maksimum, podobnie jak robiles przy kwadratowej ze miales sprawdzic najwieksza i najmniejsza w przedziale <x1,x2 > to tu tak samo 1. liczysz pochodna 2. przyrownujesz do 0 3. sprawdzamy ktory wynik miesci sie w przedziale. 4. liczymy f(x1) f(x2) i f(x − z pochodnych wyliczony)

Mila: 1)Jeżeli wiesz ,że funkcja rosnąca ( malejąca) w przedziale, to liczysz na końcach przedziału. 2) funkcja kwadratowa, to wiadomo, albo ma ekstremum w przedziale , to masz min. lub. maks., jeśli ma ekstremum poza przedziałem, to liczysz na końcach przedziału. 3) inne funkcje, to pochodne, aby zbadać, czy f(x) ma ekstremum.

Makaveli: Dużo treściwych informacji zawarliście w tych paru zdaniach. Dzięki wielkie, pomocne materiały.

Makaveli: Dodatkowe pytanie mam Co do ekstremum wyszedl mi dosc ciekawy wynik. otóż:

−x6−4x4+4x2+1
(x4−x2+1)2

To jest pochodna pewnego zadania i jest to napewno dobre wyliczenie. Tylko problem polega na tym ze ciezko tu przyrównac do 0, niczego sie nie trzyma i do niczego sie to nie ma. Jak to dobrze przyrównać do 0? Zastanawia mnie bo prawdopodobnie przez dzielenie wielomianów można to uprościc do postaci:

(x−1)(x+1)(x4+5x2+1)
(x4−x2+1)2

Ze to jest uproszczona wersja wiem ze źródła: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2B4+x^2-4+x^4-x^6%29%2F%281-x^2%2Bx^4%29^2&lk=1&a=ClashPrefs_*Math − alternate forms Natomiast pytanie czy jest inny sposób na uproszczenie, gdyż dzielenie wielomianów cieżko mi idzie, na parę prób dzielenia wychodził mi inny wynik..

Makaveli: odswiezam

Mila: −x⁶−4x⁴+4x²+1=grupuję wyrazy, lepiej podzielić, ale jeśli nie lubisz, to tak: =(1−x⁶)−4x²(x²−1) = (1−x³)(1+x³)−4x²(x−1)(x+1)= (1−x)(x²+x+1)(1+x)(x²−x+1)−4x²(x−1)(x+1)= =(1−x)(1+x)*[(x²+x+1)(x²−x+1)+4x²]=(1−x)(1+x)*[x⁴+x²+1+4x²]= =(1−x)(1+x)*[x⁴+5x²+1] (1−x)(1+x)*[x⁴+5x²+1]=0⇔ x=1 lub x=−1 lub x⁴+5x²+1=0 brak pierwiastków

Makaveli: Obliczenia nadzwyczaj ciekawe. Udało mi się wyliczyc forme uproszczoną schematem hornera, tylko aby horner wyszedł musiałem minus wyciągnąc przed nawias. Niewiem dlaczego tak.

Mila: No, widzisz, poczciwy Horner i wszystko proste.