log Karlo: Dany jest ciąg geometryczny a_n o wyrazach dodatnich. Uzasadnij, że ciąg (b_n) określony wzorem b_n = log²a_n+1 − log²a_n jest ciągiem arytmetycznym. Proszę o pomoc.

Krzysiek: a_n+1/a_n=q−iloraz ciągu geometrycznego.

	an+1
bn=(logan+1−logan)(logan+1+logan)=(log		)(log(an+1*an))=
	an

=logq*log(a_n+1*a_n) policz teraz b_n+1−b_n i sprawdź czy otrzymasz stałą.

ff: a_n = a₀ qⁿ b_n = ( log a_n+1 − log a_n )( log a_n+1 + log a_n )

	an+1
= log		log (an+1 an)
	an

= log q log ( a₀² q^{2n + 1} ) = log q ( 2 log a₀ + (2n+1)log q ) b_n+1 − b_n = ... różnica jest stała (nie zależy od n ) więc b_n jest ciągiem arytmetycznym

pigor: ..., otóż, niech a₁,q wyraz pierwszy i iloraz ciągu geometrycznego (a_n), odpowiednio, to b_n= log²a_n+1−log²a_n= log²a₁qⁿ−log²a₁qⁿ⁻¹= = log²a₁+log²qⁿ−log²a₁−log²qⁿ⁻¹= n²log²q−(n−1)²log²q= = (n²−(n−1)²)log²q= (n−n+1)(n+n−1)log²q= (2n−1)log²q, więc b_n+1= [2(n+1)−1)log²q]= (2n+1)log²q , zatem różnica r : b_n+1−b_n= (2n+1)log²q−(2n−1)log²q= (2n+1−2n+1)log²q= 2log²q= r= const c.n.u.. ...