Wielomian W sinus: Wielomian W ma postać W(x)=x⁵+a₄*x⁴ + a₃*x³ + a₂*x² + a₁*x gdzie a₄, a₃, a₂, a₁ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Wiedząc dodatkowo, że: W(2)=2, W(4)=4, W(6)=6, W(8)=8. Oblicz W(10). Prosze o pomoc wielomian W(x) przekształciłem do takiej postaci W(x)=x(x⁴ + a₄*x³ + a₃*x² + a₂*x + a₁) W(2)=2(2⁴ + a₄*2³ + a₃*2² + a₂*2 + a₁)=2, W(4)=4(4⁴ + a₄*4³ + a₃*4² + a₂*4 + a₁)=4, W(6)=6(6⁴ + a₄*6³ + a₃*6² + a₂*6 + a₁)=6 W(8)=8(8⁴ + a₄*8³ + a₃*8² + a₂*8 + a₁)=8 ale nie umiem sobie poradzić z tym dalej jak ma dalej ruszyć z tym zadaniem?

AC: Wielomian jest postaci: W(x) = x*(1 +(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)) W(10)=10(1+8*6*4*2)=3850

sinus: sprytnie to policzyłeś tylko mam pytanie w jaki sposob doprowadziłeś wielomian W(x) do takiej postaci W(x) = x*(1 +(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)) mogłbyś mi to rozpisać krok po kroku albo wyjaśnić po prostu

sinus: podpowie mi ktoś coś?

sinus: pomoże ktos?

jikA: Jak sam zapisywałeś W(2) = 2(...) a wiemy że W(2) = 2 więc 2(...) = 2 ⇒ (...) = 1 tak samo mamy z W(4) , W(6) , W(8). A więc nasz wielomian jest postaci W(x) − x = x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8) ponieważ dla x = 2 otrzymamy W(2) − 2 = 2(2 − 2)(2 − 4)(2 − 6)(2 − 8) ⇒ W(2) − 2 = 0 ⇒ W(2) = 2 dla x = 4 mamy W(4) − 4 = 4(4 − 2)(4 − 4)(4 − 6)(4 − 8) ⇒ W(4) − 4 = 0 ⇒ W(4) = 4.

sinus: kurcze dalej nie moge zrozumieć jak wy rozwiazujecie to zadanie ja robie to tak W(2) = 2(2⁴ + a₄*2³ + a₃*2² + a₂*2 + a₁)=2, W(4) = 4(4⁴ + a₄*4³ + a₃*4² + a₂*4 + a₁)=4, W(6) = 6(6⁴ + a₄*6³ + a₃*6² + a₂*6 + a₁)=6 W(8) = 8(8⁴ + a₄*8³ + a₃*8² + a₂*8 + a₁)=8 czyli w uproszczeniu mozna to zapisać tak W(x) = x(x⁴ + a₄*x³ + a₃*x² + a₂*x + a₁) P(x) = x⁴ + a₄*x³ + a₃*x² + a₂*x + a₁ zatem W(x) = x*P(x) stąd W(2)=2*P(2) W(4)=4*P(4) W(6)=6*P(6) W(8)=8*P(8) czyli wiemy ze P(2) = P(4) = P(6) = P(8) = 1 i teraz możemy zapisać to tak W(2) − 2 = 0 W(4) − 4 = 0 W(6) − 6 = 0 W(8) − 8 = 0 czyli to co wy piszecie po lewej stronie rownania W(x) − x = x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8) a mi wychodzi W(x) − x = 0 wiem ze x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8) = 0 ale nie rozumiem po co tu piszecie to ponownie przypuszczam z po wymnożeniu dostaniemy pierwotną postać wielomianu W(x). tak? no i moje drugie pytanie skad wy wiecie ze tak można zapisać ten wielomian w(x) chodzi mi o tą postać W(x) − x = x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8) skoro 2, 4, 6, 8 nie sa miejscami zerowymi tego wielomianu?

sinus: czy mogłby ktoś mi to zadanie wytłumaczyć jak dla totalnego głupka ktory w ogole nic nie rozumie krok po kroku z wyjaśnieniem skad sie co wizieło?

sinus: wyjaśni mi ktoś skad sie wzieła prawa strona tego równania W(x) − x = x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8)?

AC: Oznaczmy róznicę W(x) i x jako Q(x) W(x) − x = Q(x) Jak sam zauważyłeś miejsca zerowe wielomianu Q(x) to x₁=0; x₂=2; x₃=4; x₄=6; x₅=8; Czyli ogólna postać wielomianu 5−stopnia będzie Q(x)= a(x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8) dodatkowo wiemy że współczynnik przy najwyższej potędze jest 1 stąd wynika, że a=1 i wielomian jest równy Q(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8) Wracając do poprzednich oznaczeń mamy W(x) − x = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8) i to wszystko.

sinus: no ja właśnie napisałem wyżej ze 2, 4, 6, 8 nie sa miejscami zerowymi wielomianu W(x) bo dla W(2)=2, W(4)=4, W(6)=6, W(8)=8 czyli dla 2, 4, 6, 8 ten wielomian W(x) sie nie zeruje i nie moge zrozumięć skad ten zapis x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8) poza tym ze musi byc pięć nawiasów zeby po wymnożeniu otrzymać wielomian piątego stopnia

AC: 2,4,6,8 to są miejsca zerowe wielomianu Q(x) a nie W(x)

sinus: okey w takim razie mam juz ostatnie pytanie skad to wiemy ze 2,4,6,8 to są miejsca zerowe wielomianu Q(x) chodzi mi czy można to pokazać za pomoca jakiś obliczen bo nie wie skad sie to bierz nie umiem sobie tego tak wyobrazić lepiej to rozumiem ja to bedzie jakoś zapisane bo jak za rok dostane takie zadanie do zrobienia to na pewno tego bym nie wymyślił tylko szukał sposobu zeby to policzyc a nie wiem jak

sinus: ?

AC: Proste: Q(x)=W(x) − x wstawiamy x=2 Q(2)=W(2) − 2 = 2 − 2 =0 to oznacza że liczba 2 jest miejscem zerowym Q(x) dla pozostałych analogicznie.

sinus: okey dzieki teraz juz rozumiem jeszcze raz wielkie dzieki za pomoc

xyz: AC skąd wiadomo, że wielomian jest postaci: W(x) = x*(1 +(x−2)(x−4)(x−6)(x−8))?

Dominik: xyz, z postu AC z godz 17:51 jest wytlumaczone jak dojsc do postaci W(x) − x = (x − 0)(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8) po dodaniu stronami x i uproszczeniu (x − 0) do x W(x) = x + x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8) po wylaczeniu przed nawias x W(x) = x(1 + (x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8))