wielomiany dwoch zmiennych Piotrek: Dla jakich rzeczywistych wartosci x i y wielomian: a) 2x² −2x +5y² +5 b) −5x² −5y² +8x −6y −1 przyjmuje wartość najmniejszą? Wyznacz najmniejszą wartosc. Nie mialem wczesniej do czynienia z wielomianami dwoch zmiennych i nie wiem za bardzo jak nalezy się do tego zabrac. Będę wdzieczny za kazda pomoc

Piotrek: Ten wielomian trzeba po prostu rozwazac ze wzgledu na x, a pozniej ze wzgledu na y? To znacyz rozpisac na dwa wielomiany i policzyc x−owa wspolrzedna wierzcholka? Z tego w pierwszym przykladzie by wyszlo x=1/2 a y=0. To by się zgadzalo z odpowiedzią, tyle ze nie rozumiem, czemu wtedy ta najmniejsza wartosc się nie zgadzam. Odpowiedz jest taka: a) x=1/2 y=0 Najmniejsza wartosc = 4 i 3/4 b) x=1 y=1 Najmniejsza wartosc = −2

Piotrek: moglby ktos spojrzec?

Bogdan: Masz do czynienia z funkcją dwóch zmiennych. Wyznacz ekstremum tej funkcji wyznaczając pochodne cząstkowe I i II rzędu. Poszukaj gdzieś w Internecie albo w jakimś podręczniku akademickim informacji o funkcjach wielu zmiennych i o wyznaczaniu ekstremów takich funkcji.

Piotrek: Dzieki. z = 2x² −2x +5y² +5 z'x = 4x −2 z'y = 10y 4x − 2 = 0 => x= 1/2 10y = 0 => y=0 tak to ma wygladac? jak wyznaczyc ekstremum?

Bogdan: Jak wyznaczyć ekstremum, to sam znajdź gdzieś w podręczniku lub w Necie. Wpisz w Google: ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Piotrek: Nie jestem leniem, szukalem. Wpisalem juz wczesniej, nawet znalazlem dobry material, ale nei wychodzi mi tak jak w odpowiedzi.. Wychodzi mi ten punkt stacjonarny (1/2, 0), potem probowalem robic tak jak pokazywali, czyli z wyznacznikiem, ale wychodza jakies glupoty

Bogdan: z'_x = 4x − 2 z'_y = 10y z"_xx = 4, z"_xy = 0, z"_yx = 0, z"_yy = 10. | 4 0 | W(1/2, 0) = | | = 40 > 0 i z"_xx > 0 | 0 10 |

	1
Funkcja posiada w punkcie (		, 0) minimum równe
	2

	1		1		1
2*		− 2*		+ 5*0 + 5 = 4
	4		2		2

Piotrek: Dokladnie tak to robilem, wyszedl mi taki sam wynik Ale odpowiedz podaja 4 i 3/4, nie wiem dlaczego. Myslalem, ze się pomylili, ale jak sprawdzam punkt b, to tez się nie wychodzi tak jak w odpowiedzi. Ale dziekuję, teraz juz wiem mniej wiecej, jak to nalezy robic

Bogdan: To sprawdźmy jeszcze raz: z = 2x² − 2x + 5y² + 5 z = 2x(x − 1) + 5(y² + 1),

	1		1		1		1		1
dla x =		i y = 0: z = 2*		*(		− 1) + 5*(0 + 1) = −		+ 5 = 4
	2		2		2		2		2