proszę jan: Niech a,b,c będą−−−liczbami−−−rzeczywistymi−−−należącymi do zbioru (0,1). Wykazać nierówność: a+b+c−abc<2

jan: jak ktoś potrafi proszę o pomoc

jan: jak ktoś potrafi proszę o pomoc

jan:

Licealista D: na potrzeby zadania zbiór domknąłem do (0;1> a+b+c przy wartościach maksymalnych będzie = 3 abc przy wartościach maksymalnych będzie = 1 3 − 1 = 2 Skoro 1 do zbioru nie należy, to nigdy nie dojdzie do równania powyższego dlatego a+b+c − abc <2 zawsze w zbiorze (0;1) . Ale nie wiem czy takie wykazanie jest dobre...

jan: raczej to jest źle, może to pomoże a*1<1 i b*1<1 i c*1<1

jan: raczej to jest źle, może to pomoże a*1<1 i b*1<1 i c*1<1

Licealista D: No to właśnie to jest to, że a,b,c należy (0;1) czyli tak w pomyśleniu jest ułamkiem.Gdy mnożysz ułamki mniejsze od 1 nigdy nie będą one większe od 1 . Dlatego maksymalna wartość, którą dodałem to tak jakby ułamek ¹₁, która jest maksimum dla zbioru (oczywiście potem ją wyrzucam)

jan: nie za bardzo rozumie jakby to ładnie zapisać po matematycznie, bo mi pani nie uzna inaczej

Licealista D: Spróbuję aczkolwiek, zapisywanie nie wychodzi mi a,b,c∊ (0;1) abc < 1 a+b+c < 3 Rozszerzam dziedzinę(?) do zbioru (0:1>, więc wartość maksymalna abc = 1 wartość maksymalna a+b+c = 3 Podstawam maksymalne wartości do równania 3 − 1 ≤ 2 2≤2 Odp. a+b+c − abc < 2 dla zbioru (0;1> ckd

Licealista D: dla zbioru (0;1) na końcu.

jan: wielkie dzięki ze starasz mi się pomóc, a co to oznacza ckd

Licealista D: Co kończy dowód.

asdf: można założyć: a≤b≤c, czyli: a + b + c ≤ 3c c∊(0,1) 3c∊(0,3) a*b*c ∊ (0,1)

jan: asdf a to co napisał licealista D jest złe, czy też może być ?

jan: asdf a to co napisał licealista D jest złe, czy też może być ?

pigor: ..., ckd (co kończy dowód) , tu zapis uzasadnienia może wyglądać (choć mam pewne ... ale ?) np. tak : 0<a<1 i 0<b<1 i 0<c<1 /+ stronami i /* stronami ⇒ ⇒ a+b+c<3 i abc<1 /− stronami ⇒ a+b+c−abc < 3−1 ⇔ a+b+c−abc < 2 .c.n.w. ... −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− c.n.w. − co należało wykazać

Licealista D: Dla mnie może być

jan: dziękuję wszystkim za pomoc

PW: Nie wolno odejmowac nierownosci stronami 0 < 1 − prawda −6 < −4.− prawda −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 6 < 5 − po odjeciu stonami − nieprawda

PW: Niech a=1−x₁, b=1−x₂, c=1−x₃, wtedy a+b+c=3−(x₁+x₂+x₃) abc= (1−x₁)(1−x₂)(1−x₃)=1−(x₁+x₂+x₃)+(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)−x₁x₂x₃, a więc (1) a+b+c−abc=2+x₁x₂x₃−(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃). Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃ ≥ 3³√x₁x₂x₁x₃x₂x₂=3³√(x₁x₂x₃)², skąd (2) −(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃) ≤−3³√(x₁x₂x₃)². Zastosowanie (2) w (1) daje (3) a+b+c−abc ≤ 2+x₁x₂x₃−3³√(x₁x₂x₃)². Z założenia wszystkie liczby x₁,x₂,x₃ są liczbami z przedziału (0,1), więc iloczyn x₁x₂x₃ też należy do przedziału (0,1). Nierówność (3) ma więc postać (4) a+b+c−abc ≤ 2+x−3x^2₃, x∊(0,1). Funkcja f(x)=x−3x^2₃, x∊<0,1> jest ujemna na całym przedziale (0,1), gdyż

	2		3√x−2
f'(x)=1−2x−13=1−		=		< 0
	3√x		3√x

− funkcja f jest malejąca (gdyż ma pochodną ujemną) i f(0)=0, a więc f(x)<0 dla x∊(0,1). Zastosowanie w (4) faktu, że f(x) jest ujemna, kończy dowód. Dowód niewinnie wyglądającej nierówności w moim wydaniu okazał się dosyć skomplikowany. Zamysł był taki, żeby pokazać a+b+c−abc jako sumę dwójki i "czegoś ujemnego", co oznacza, że a+b+c−abc<2. Czasem jednak bywa tak, że nie widzi się znacznie prostszego dowodu, może ktoś zna − warto pokazać.

Licealista D: Do (1) rozumiem ale gdy stosujesz nierówność między średnimi zwijasz w pierwiastku (x₁,x₂,x₃) , z czym x₂ występuje 3 razy . A zwijasz to do kwadratu, więc albo jest jakiś "zabieg", którego nie poznałem albo błąd w zapisie?

Licealista D: Chyba, że za jedno x₂ powinno być x₃ . Wtedy sie zgadza

Licealista D: Dobra, już widzę

PW: Tak, pisanie w tym edytorze powoduje częste błędy literowe, trzeba to brać pod uwagę. A mam jeszcze pytanie do jana − to było zadanie dla studenta, czy dla licealisty "rozszerzonego"?

Licealista D: Jeżeli dla licealisty to do 4 punktu Twojego dowodu, ponieważ później stosujesz pochodną, o której jeszcze nie mam zielonego pojęcia. Zastanawiam się jak wykazać bez pochodnej, że na całym przedziale jest ujemna (?).

Vax: Da się trochę szybciej, mając: a+b+c−abc = 2+x₁x₂x₃−(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃) Wystarczy pokazać, że x₁x₂x₃ < x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃ Co jest prawdą, gdyż x₁x₂ > x₁x₂x₃ oraz x₁x₃ > 0 , x₂x₃ > 0.

PW: No, i nie jest potrzebne tw. o średnich ani pochodna, dziękuję! Czasem nie widzi się właśnie takich "oczywistości" (?) i brnie w rachunki. Zadanie okazuje się dostępne dla licealisty.