Uzasadnianie zbierzności ciągu rekurencyjnego i liczenie jego granicy. Juliusz: Dany jest ciąg rekurencyjny: a₁=10 a_n+1=4+√a_n+3 (dla dowolnego n≥1) Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność tego ciągu, a następnie obliczy ́ jego granice. Najbardziej interesuje mnie dowód na zbieżność (nie wiem jak do tego podejść), bo granica to intuicyjnie 7.

Juliusz: Zrobiłem błąd. a₁=10 a_n+1=4+√a_n+2 (dla dowolnego n≥1) Przepraszam za pomyłkę.

Trivial: 1. Ciąg jest słabo malejący a₂ = 4 + √10 + 2 = 4+√12 ≤ 4+√16 = 8 ≤ 10 = a₁ OK Załóżmy że a_n+1 ≤ a_n (a_n+1 − a_n ≤ 0). Czy to implikuje a_n+2 − a_n+1 ≤ 0? a_n+2 − a_n+1 = 4 + √a_n+1+2 − a_n+1 ≤ 4 + √a_n+2 − a_n+1 = a_n+1−a_n+1 = 0. OK Zatem ciąg a_n jest słabo malejący. 2. Ciąg a_n jest ograniczony od dołu przez 4 (trywialne). Zatem istnieje granica ciągu a_n. Liczymy. g = 4 + √g+2 (g−4)² = g+2 g² − 8g + 16 = g+2 g² − 9g + 14 = 0 (g−2)(g−7) = 0 Zatem g = 2 lub g = 7. Jako że 4 > 2 wybieramy g = 7.