niewymierność abcdddd: Szybka pomoc,plixxlplpxfsddf Klasyczne zadanko: wykaż z definicji, że liczba √3 jest niewymierna. Widziałem parę rozwiązań z tego, ale ludzie to rozpisują i nie tłumaczą dokładnie toku myślenia, albo dają początek i "sam już dokończysz". Prosiłbym jednak o dokładne wytłumaczenie toku postępowania:

	p
√3 =		, p,q∊C, q≠0
	q

	p2
3 =
	q2

3q² = p² I od tej chwili tłumaczenia się często nieznacznie różnią, ludzie też zbyt mechanicznie to robią i nie potrafią ładnie wytłumaczyć nieogarniającemu, więc ja jednak proszę żeby ktoś mi tu ładnie wytłumaczył jak dalej uzyskać tę sprzeczność.

abcdddd: borzeborzenko, ile powtórzeń, za dużo zadanek, a za mało książek

PW: Zanim zaczniemy "od tej chwili" podkreślmy, że na początku powinniśmy powiedzieć, że liczby p i q są względnie pierwsze (nie mają wspólnego dzielnika − bo gdyby miały, to skracalibyśmy

	p
ułamek		do skutku − aż nie będą miały).
	q

Z przypuszczenia, że 3q²=p² wynika, iż lewa strona równości dzieli się przez 3, w takim razie dzieli się przez 3 także prawa strona. Prawa strona to q•q, a więc w rozkładzie na czynniki pierwsze nie może występować tylko jedna liczba 3 − muszą być dwie (dokładniej − parzysta liczba trójek). Zapiszmy w takim razie q jako 3r i prawą stronę jako 3•3r²; równość przybierze postać 3q²=3•3r². Widzimy, że prawa strona równości dzieli się przez 3•3, więc i w rozkładzie na czynniki lewej strony też muszą być co najmniej dwa czynniki "3". Oznaczałoby to, że liczba q dzieli się przez 3, czyli q=3•s, s∊N. Wykazaliśmy, że gdyby przypuszczenie "√3 daje się przedstawić jako nieskracalny ułamek

	p
		" było prawdziwe, to wynikałoby z niego, że p=3r i q=3s, r,s∊N, czyli że p i q mają
	q

wspólny dzielnik 3. Otrzymana sprzeczność (wniosek sprzeczny z założeniem) świadczy, że założenie było fałszywe, czyli √3 nie jest ułamkiem − liczbą wymierną.

Trivial: Innym sposobem byłoby dobranie współczynników jakiegoś wielomianu tak, aby √3 był jego pierwiastkiem oraz wszystkie te współczynniki były całkowite. Wtedy wystarczy pokazać, że √3 nie jest żadnym z kandydatów na wymierne pierwiastki wielomianu. Dobieramy wielomian x² − 3. Kandydaci na wymierne pierwiastki tego wielomianu to K = { ±1, ±3 } Żaden z nich nie spełnia równania x² − 3 = 0, zatem równanie to ma pierwiastki niewymierne, a że √3 jest jego pierwiastkiem to musi być liczbą niewymierną.