Równanie wykładnicze I_love_PI: Witam! Bardzo bym prosiła o podpowiedź w zadaniu: − znajdź wszystkie liczby rzeczywiste spełniające równanie: (5−x)^x3−4x2+x+6=1 jak narazie mam x³−4x²+x+6=0 z tego x= −1 lub x=2 lub x=3 ale w odpowiedziach jest jeszcze x=4 lub x=6 skąd ? ? ?

I_love_PI: przecież dla funkcji wykładniczej 5−x<0 ⇒x<5 tak? to w ogóle −1 nie powinno pasować! ..

Janek191: cd. rozwiązania : 5 − x = 1 ⇒ x = 4 5 − x = − 1 ⇒ x = 6 spr. ( −1) ^{63 − 4*62 + 6 + 6} = (−1)^{216 − 144 + 12} = (−1)⁸⁴ = 1 bo 1^m= 1 i ( − 1)ⁿ = 1 , gdy n jest liczbą naturalną parzystą, m ∊ N

Janek191: I jeszcze jedno 5 − ( − 1) = 6 > 0

I_love_PI: Aha, dzięki powiedz mi czy założenie, że 5−x>0 musi być, czy po prostu wystarczy 5−x≠0 ?

Janek191: Dla wykładnika p∊ N będącego liczbą parzystą dziedziną funkcji potęgowej jest R. y = x^p Podobnie jest dla wykładnika p∊ N będącego liczbą nieparzystą D = R W tych przypadkach funkcję y = ( 5 − x) ^{x3 − 4 x2 + 6} traktujemy jako f. potęgową.

PW: Niegłupie pytanie. Zacznijmy od tego, że hasło do tego zadania − równanie wykładnicze − jest niedobre. To nie jest funkcja wykładnicza, ani nawet złożenie funkcji wykładniczej z kwadratową. Zmienna x występuje zarówno w wykładniku potęgi jak i w jej podstawie (x−5). Jest to więc "koszmarek złożeniowy". Na przykład (−5)^1/3 ma definicję (określa się pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej), ale (−5)^1/4 nie ma definicji (zakładam, że poruszamy się w zbiorze liczb rzeczywistych). Widząc takie wyrażenie jakie nam zadał autor zadania do rozważań nie można myśleć schematami w rodzaju "funkcja wykładnicza". Nawet nie silić się na ustalenie dziedziny (takie rzeczy mogą się śnić po nocach). Skupić się tylko na rozwiązaniu tego szczególnego problemu − jakie mają być iksy, żeby to w ogóle się dało policzyć − pod kątem rozwiązania. Dlatego nie zastanawiajmy się, czy f u n k c j a (x−5)^x3−4x2+x+6 jest dobrze zdefiniowana, tylko myślmy konkretnie − jaka musiałaby być podstawa (x−5) i jednocześnie wykładnik x³−4x²+x+6, żeby to wyrażenie dało się policzyć i miało wartość 1. Dlatego powinniśmy opisać sposób rozumowania jakoś tak: wyrażenie a^b przyjmuje wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1) a≠0 i b=0 lub 2) a=1 i b jest dowolną liczbą rzeczywistą lub

	p
3) a=−1 i b jest nieskracalnym ułamkiem postaci		, gdzie p jest parzystą liczbą
	q

naturalną, a q − dowolną liczbą rzeczywistą. Dlatego Janek191 s p r a w d z a ł jaki jest wykładnik potęgi dla podstawy (x−5) równej −1 (akurat przez przypadek była to liczba naturalna parzysta, więc nic więcej nie trzeba było mówić). Czy teraz już jasne, jak to trzeba opisać i dlaczego nie dbaliśmy, by x−5>0?

I_love_PI: Jasne, jak Słońce ! ! ! Szczerze dziękuję