Zbió wartości funkcji, ograniczenia das: Dlaczego jest tak: −3≤2sinx−1≤1 / ()² 0≤(2sinx−1)²≤9 Głównie nie rozumiem skąd się wzięła ta 9.. Z góry dzięki

jikA: Możliwe że (−3)² = 9.

das: no ok, w takim razie skąd się wzięło to 0? Może przykład banalnie prosty, ale nie miałem z czymś podobnym styczności dlatego prosiłbym o rozpisanie jak się mnoży takie ograniczenia (chyba tak sie to nazywa)

PW: A tak w ogóle jeśli chciałeś się dowiedzieć czegoś o sinusie, to trzeba było dodać jedynkę stronami: −2≤2sinx≤2 −1≤sinx≤1, czyli rewelacyjna informacja, którą jakoś dziwnie zagmatwałeś podnosząc stronami do kwadratu.

das: To jest tylko wycinek zadania, które rozumiem poza mnożeniem stronami... mam dojść do postaci (2sinx−1)²+4, więc to co napisałem na pewno jest ok tylko nie wiem dlaczego tak jest (przykład z lekcji)

jikA: Skoro nie wiesz to najwygodniejszym sposobem jest podstawienie za sin(x) = t wtedy dostaniemy funkcję kwadratową gdzie t ∊ [−1 ; 1] f(t) = (2t − 1)²

	1
tw =		∊ [−1 ; 1] i będzie to minimum ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze
	2

jest dodatni policzmy ile wynosi wartość dla tego argumentu

	1
f(tw) = (2 *		− 1)2 = 0
	2

teraz liczymy wartości na krańcach przedziału f(−1) = (2 * (−1) − 1)² = (−3)² = 9 f(1) = (2 * 1 − 1)² = 1² = 1. Dostajemy że najmniejszą wartością funkcji jest 0 a największą 9 czyli ZW = [0 ; 9].

das: No właśnie tym sposobem potrafię, ale chciałbym też się nauczyć tamtego i zrozumieć co robię źle

jikA: A przykładowo −1 ≤ sin(x) ≤ 1 / ² 0 ≤ sin(x) ≤ 1 byś wiedział dlaczego jest 0 po lewej stronie?

jikA: 0 ≤ sin²(x) ≤ 1

das: No tak, to wynika z tego samego co x² ≥0. Ale co dalej?

jikA: Jak co dalej?

das: Dobra, poddaje się. Chyba nie potrafię tego zrozumieć. Może ktoś w szkole mi to wytłumaczy. Dzięki za pomoc.

PW: A ja mówię jeszcze raz: podnoszenie stronami do kwadratu nierówności jest najgorszym sposobem działania − chyba idzie o to, żeby zepsuć posiadaną informację. Na przykład (1) −3<x<−2 po podniesieniu do kwadratu daje 0<x²<9 − wynikanie prawdziwe, ale co teraz wiemy o liczbie x? Ano, że (2) −3<x<3 Z (1) wywnioskowałeś, że (2). Gratuluję.

jikA: Popieram zdanie PW że podnoszenie stronami do kwadratu to słaby sposób skoro potrafisz sposób który zapisałeś to po co chcesz utrudniać sobie tym sposobem?

das:

	2
Bo jak zastosować tamten sposób np przy takim przykładzie:		?
	sin2x+1

PW: A co mamy z tym ułamkiem zrobić? Oszacować jakie przyjmuje wartości?

jikA:

	2
f(t) =		wartość będzie największa dla wartości najmniejszej mianownika
	t2 + 1

g(t) = t² + 1 t_w = 0 g(t_w) = 1 f(0) = 2 więc dla t = 0 mamy wartość największą równą 2 teraz sprawdzamy na krańcach przedziału wartości f(−1) = 1 f(1) = 1 więc ZW = [1 ; 2].

PW: Aż za bardzo skomplikowanie. Myślę, że wystarczy gdy uczeń napisze: mianownik m=sin²x+1

	2
przyjmuje najmniejszą wartość m1=0+1=1, a największą m2=1+1=2, a więc ułamek		waha
	m

się między

	2		2
		i		,
	1		2

czyli

	2
1<		<2.
	m

PW: Oczywiście nierówności nieostre!

jikA: das chciał abym zastosował tamten sposób więc mu zastosowałem.

PW: Jasne, jestem pełen uznania. Cały czas myślę jednak jak skracać wypowiedzi − obawiam się, że nie uzyskałbym na maturze rozszerzonej za dobrego wyniku − z braku czasu.

jikA: Sprawna szybka ręka ale nie za szybka żeby kartki się nie po przepalały i byłby dobry wynik. Ale to też jest umiejętność pisać nie za dużo ale na temat i zawrzeć najważniejsze szczegóły.

Mila: 1) Zbiór wartości funkcji: f(x)=2sinx−1 −1≤sinx≤1 /*2 −2≤2sinx≤2 /−1 −3≤2sinx−1≤1 Z_w=<−3, 1>