Ciągi, wzór rekurencyjny.
wajdzik: Ciąg (a
n) jest określony wzorem rekurencyjnym:
{a
1=1
{a
n+1=a
n+8n
Wykaż, że a
n=(2n−1)
2.
Najpierw liczę kolejne wyrazy:
a
2=a
1+8n=17
a
3=a
2+8n=41
a
4=1
3+8n=83
Nie za bardzo wiem co dalej mam zrobić. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć co teraz mam zrobić?
7 mar 22:07
wajdzik: Mógłby mi ktoś pomóc?
7 mar 22:12
Basia:
źle je liczysz
a2 = a1+1 = a1 + 8*1 = 1+8 = 9 = 32 = (4−1)2 = (2*2−1)2
a3 = a2+1 = a2+8*2 = 9+16 = 25 = 52 = (2*3−1)2
ale to nie jest dowód; dowód powinien być indukcyjny
7 mar 22:13
Basia: znasz zasadę indukcji matematycznej ?
7 mar 22:14
wajdzik: Czy znam zasadę? Tak, znam. Czy rozumiem? Jeszcze nie do końca. Co jak co ale nie wszedłem
dobrze w te ciągi i mnie to lekko frustruje. Tu sobie robię powtórkę z funkcji wymiernej i
jeszcze robię
nowe tematy. Dzięki za trop Basiu, już się biorę do roboty.
7 mar 22:16
wajdzik: | | 5+n | | 25n+5 | | 5(5n+1) | |
LT=an+1=an+8n= |
| +8n= |
| = |
| =PT |
| | 3 | | 3 | | 3 | |
Coś takiego mi powychodziło
7 mar 22:26
wajdzik: Więc jak? Jest ok ten dowód?
7 mar 22:31
wajdzik: 
?
7 mar 22:34
wajdzik:
7 mar 22:38
Basia: nie rozumiem w ogóle co napisałeś
krok 2
Z: an = (2n−1)2
T: an+1 = [2(n+1)−1]2 = (2n+1)2
dowód:
an+1 = an+8n =(2n−1)2 + 8n = 4n2 − 4n + 1 + 8n = 4n2+4n+1 = (2n+1)2
c.b.d.u.
7 mar 22:41
Trivial:
Można zrobić to tak:
a
n+1 = a
n + 8n, a
1 = 1
Zapisujemy w postaci:
a
k+1 − a
k = 8k
Rozpisane dla kolejnych k:
a
2 − a
1 = 8*1
a
3 − a
2 = 8*2
a
4 − a
3 = 8*3
...
a
n − a
n−1 = 8*(n−1)
a
n+1 − a
n = 8*n
Sumujemy obie strony
| | n(n+1) | |
an+1−a1 = 8*(1+2+3+...+n) = 8* |
| = 4n(n+1) |
| | 2 | |
a
n+1 = 4n(n+1) + a
1 = 4n(n+1) + 1
a
n = 4(n−1)n + 1 = 4n
2 − 4n + 1 = (2n−1)
2.
Inny sposób to użycie rachunku różnicowego
a
n+1 = a
n + 8n
a
n+1−a
n = 8n
Δa
n = 8n / ∑
n=1..N
Sumujemy obustronnie od n = 1 do n = N
a
N+1 = 4N(N+1) + 1
a
n = (2n−1)
2
8 mar 11:35