równanie tn: sinx+cosx=√2

Mati_gg9225535: albo wyznacz sinx lub cosx i podstaw do 1 trygonometrycznej, albo wyciagnij przed nawias √2 i zastosuj wzór np na sinus kąta podwojonego

Licealista D: A masz podane założenia, cokolwiek?

jikA:

	1
Pomnóż obustronnie przez		i skorzystaj ze wzoru
	√2

sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x) = sin(x + y) albo cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) = cos(x − y).

Jack: podziel przez √2 i zastosuj wzór na sin(α+β)

ICSP: skorzystaj z tożsamości :

	π
sinx + cosx = √2(sinx +		)
	4

Wyznaczałem Ci już ją kiedyś

jikA:

	1		π		π
Oczywiście mam nadzieje wiesz o tym że		= sin(		) = cos(		).
	√2		4		4

Licealista D: @jikA z ciekawości : ^{sinx + cosx}_√2 = 1 ^{√2sinx + √2cosx}₂ = 1 Jak teraz mam do tych wzorów skorzystać, nie mam zielonego pojęcia :<?

jikA: Skorzystaj z

a + b		a		b
	=		+		.
c		c		c

Licealista D: aaaa, ^√2sinx₂ + ^√2cosx₂ = 1 sin^π₄*cosx + cos^π₄*sinx = sin(^π₄+ x) Teraz?

Licealista D: sin(^π₄ + x) = 1

Ania_601: jaka powinna być odpowiedz?

Licealista D: x = ^π₄ + 2kπ k ∊⊂?

Licealista D: Nie pasuje coś mi ta odpowiedź :<

tn: ok, a mogę podnieść stronami do kwadratu, a potem z jedynki ?

jikA: A czemu Ci nie pasuje?

jikA: Możesz ale musisz dawać dodatkowe założenia aby nie dostać tak zwanych fałszywych pierwiastków.

Saizou : sinx+cosx=√2 sin²x+cos²x=1 (√2−cosx)²+cos²x=1 2−2√2cosx+cos²x+cos²x=1 2cos²x−2√2cosx+1=0 ( (√2cosx−1)²=0 √2cosx−1=0

	√2
cosx=
	2

	√2
sinx=√2−
	2

	√2
sinx=
	2

	π
zatem x=		+2kπ, k∊C
	4

Licealista D: Dobrze, zgadza się . Zrozumiałem A sinx= √2 − cosx 2−2√2cosx + cos²x + cos²x= 1 2cos²x −2√2cos + 1= 0 t = cosx 2t² − 2√2t + 1 =0 Δ= 8 −8 = 0 x₀ = 2√2/4 = ^√2₂ czyli ^π₄ + 2kπ Tak też będzie dobrze?

Saizou :

	√2
ale gdy cosx=		to
	2

	π		π
x=−		+2kπ lub x=		+2kπ , k∊C
	4		4

i trzeba rozpatrzeć oba przypadki (ja od razu jeden pominąłem)

Licealista D: A, ok

tn: Jakie fałszywe pierwiastki ? przeciez mogę podnosić stronami do kwadratu. Poza tym otrzymuję dobry wynik, więc w czym problem ?

Saizou : a sprawdź np. dla II ćw. układu

jikA: Dam przykład z fałszywymi pierwiastkami. Masz równanie x = 1 podnosimy obustronnie do kwadratu mamy x² = 1 stąd dostajemy dwa pierwiastki x = ±1.

jikA: I co możesz sobie tak w każdym wypadku podnosić do kwadratu?

tn: no nie, ale mi to nic nie podpowiedziało Co powinienem zrobić ?

Licealista D: Nie podnosić do kwadratu i zrobić jednym ze sposobów które wyżej rozwiązałem

jikA: Skoro masz równanie sin(x) + cos(x) = √2 to widzimy że prawa strona jest dodatnia więc należy założyć przed podniesieniem obustronnie do kwadratu że sin(x) + cos(x) > 0. Teraz dopiero wykonujesz obliczenia.

tn: okey, ale co mi daje to założenie, skoro ja i tak nie wyznaczę dla jakich x to zachodzi (ta nierówność z założenia)

jikA: Jeżeli nie wyznaczysz to Ci nie proponuję rozwiązywania w taki sposób równań trygonometrycznych jaki chciałeś bo źle rozwiążesz równanie.

tn: ale tutaj miałem farta

tn: A możesz wyjaśnić, kiedy mogę równanie/nierównośc podnosić stronami do kwadratu ?

jikA: Wtedy kiedy dasz założenie. No chyba że obydwie strony są nieujemne wtedy możesz podnosić spokojnie do kwadratu. Wcale że nie miałeś farta tylko zobacz że masz źle rozwiązane równanie sin(x) + cos(x) = √2 / ² 1 + sin(2x) = 2 sin(2x) = 1

	π
2x =		+ k * 2π
	2

	π
x =		+ k * π.
	4

	5
Dla k = 1 mamy x =		π wstawiamy do równania i otrzymujemy
	4

	5		5
sin(		π) + cos(		π) = √2
	4		4

	π		π
−sin(		− cos(		= √2
	4		4

	1		1
−		−		= √2
	√2		√2

−√2 ≠ √2 sprzeczność.

jikA: Jak sam widzisz dostałeś fałszywy pierwiastek.

jikA: Masz jeszcze jakieś pytania albo jakieś wątpliwości? Bo ja zaraz będę szedł.

tn: Wielkie dzięki. Już sporo pomogłeś. Na prawdę dzięki.