funkcja wymierna olka: dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji F jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, jeśli: a) F(x)=(m−2x)/(mx=1) b) F(x)=(x+1)/(2x²+mx+2)

Janek191: a)

	m − 2 x
f(x) =
	m x + 1

Odp. Dla m = 0 ========= b)

	x + 1
f(x) =
	2 x2 + m x + 2

Δ = m² − 4*2 * 2 = m² − 16 = ( m − 4)*( m + 4) < 0 ⇔ m ∊ ( − 4; 4) Odp. Dla m ∊ ( − 4; 4 ) ====================

olka: a dlaczego m=0 ? bo tego nie rozumiem

Janek191: Dla m = 0 mianownik jest równy 1 i wtedy f(x) = −2 x − funkcja liniowa o dziedzinie D = R.

PW:

m−2x
	− z uwagi na mianownik trzeba przyjąć
mx−1

a) m=0, wtedy F(x)=2x przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste. Z uwagi na postać ułamka b) m≠√2 i m≠−√2, bo dla m=√2 jest

	√2−2x		√2(1−√2x)
F(x) =		=		= −√2
	√2x−1		√2x−1

	1
− stała na R\{		}, podobnie dla m=−√2)
	√2

	1
c) Dla m≠0 i m≠−√2 i m≠√2 dziedziną F jest R\{		},
	m

należy sprawdzić, czy przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste rozwiązując równanie F(x)=a dla dowolnej a∊R

	−2x+m
		= a
	mx−1

−2x+m=a(mx−1) −2x+m=amx−a (1) m+a = (2+am)x

	2
Widać, że jeżeli a≠−m, i a=−		równanie nie ma rozwiązania (prawa strona jest zerem, a
	m

lewa − nie), a więc istnieje liczba, która nie należy do zbioru wartości.

	2
Gdyby równanie (1) miało mieć rozwiązanie, to musiałoby być a=−m i a=−		, to znaczy
	m

	2
m=		, czyli m=√2 lub m=−√2, a te przypadki wykluczyliśmy z uwagi na b).
	m

Odpowiedź: Zbiór wartości funkcji F jest całym zbiorem liczb rzeczywistych tylko dla m=0.