caleczki dwie e e sprd: Witam! Czy ma ktos pomysl na 2 calki: 1)

	x4 − x3 +4x2 −5x + 11
∫		dx
	(x−1)3 (x2 +4)

i 2)

	16(x+1)
∫		dx
	(x2 + 4)2

Probowalem rozwiazac pierwsze, ale wychodzi mi uklad z 5 niewiadomymi a rozwiazanie tego chyba jest zbyt kloptliwe zeby uznac, ze mozna te calke rozgryzc w jakis inny sposb ;> Co do drugiej to nawet nie moge rozlozyc mianownika na ulamki proste. Pewnie tez jest jakis patent Jezeli ktos ma jakis pomysl, prosze powiedziec Pozdrawiam!

Basia: ad.1 jeżeli tam jest na pewno +11 to raczej nie ma innego sposobu ad.2

	2x		1
= 8∫		dx + 16∫		dx
	(x2+4)2		(x2+4)2

pierwsza przez podstawienie t = x²+4 druga przez rozkład na ułamki proste nic innego nie przychodzi mi do głowy

sprd: dziekuje. drugie zrobie jak mówisz, pierwsze odpuszcza bo taka calka to godzina roboty Zakladajac ze sie w ukladzie rownan czy gdziekolwiek indziej nie pomylę

Mila: drugą całkę rozbić na dwie

	16x		16
∫		dx+∫		dx=
	(x2+4)2		(x2+4)2

W pierwszej podstawienie : x²+4=t w drugiej pierwsze podstawienie: x=2t później sobie poradzisz.

sprd: Mila, czy moglabys wyjasnic mi, skad wzielas te drugie podstawienie? W sensie jak do tego doszlas? Co do rozwiazania Basi to drugiej funkcji nie da sie rozlozyc na ulamki proste..

	1		Ax + B		Cx+D
Bo jak zapisze		=		+		to po porownaniu
	(x2 +4)2		(x2 + 4)		(x2 +4)2

wspolczynnikow i rozwiazania ukladu rownan niestety nic mi nowego nie wyjdzie jak znowu ta funkcja.

sprd: hę?

sprd: Proszę o w miarę mozliwosci wyjasnienie bo musze to dzis rozwiazac a niestety jestem troszeczke padniety juz

sprd: Prosze o pomoc...

Basia: zrób tak jak Mila podpowiadała podstawienie x = 2t

sprd: jasne, ale chciallbym wiedziec, skad Mila to wziela Jak doszla do tego podstawienia.

jikA: Dobra spróbujmy zrobić pierwszą całkę.

A		B		C		Dx + E
	+		+		+
x − 1		(x − 1)2		(x − 1)3		x2 + 4

A(x − 1)²(x² + 4) + B(x − 1)(x² + 4) + C(x² + 4) + (Dx + E)(x − 1)³ = x⁴ − x³ + 4x² − 5x + 11 dla x = 1 mamy 5C = 10 ⇒ C = 2 A(x − 1)²(x² + 4) + B(x − 1)(x² + 4) + (Dx + E)(x − 1)³ = x⁴ − 3x³ + 10x² − 11x + 13 A + D = 1 dla x = 0 4A − 4B − 3E = 13 dla x = 2 8A + 8B + 2D + E = 23 ⇒ 6A + 8B + E = 21 dla x = −1 10A − 10B − 8E + 8D = 38 ⇒ 2A − 10B − 8E = 30 Masz układ trzech równań i trzy niewiadome. {4A − 4B − 3E = 13 {6A + 8B + E = 21 {2A − 10B − 8E = 30 Mam nadzieję że nigdzie się nie pomyliłem.

sprd: jikA − dziekuje, naprawde duzo napisales doceniam to Powiedz mi jeszcze tylko skad bierzesz te wartosci, np dla x = 1 ? Skad wiesz, ze x = 1 ? Czy chodzi o miejsca zerowe?

jikA: Widzę błąd u siebie nie wiem zlało mi się zraz poprawię.

sprd: Prosze jeszcze jezelit o mozliwe o info skad w drugim przykladzie MIla wziela te podstawienie. A co jeszcze do drugiego to wyszedł mi wynik:

	8		1
−		−
	x2 + 4		x+2

jikA: Po prostu bierzesz x takie które będą Ci niektóre wyrażenia zerowały albo te które dają małe wartości dla łatwości obliczeń.

sprd: dobra ten drugi przykład zle obliczylem, tez widze blad. cofam swoj wynik Prosze w takim razie tylko o wyjasnienie tego podstawienia

sprd: czyli tak naprawde strzelales podstawiajac za x 1 ?

Basia: liczyła duuuuuuuuuuuużo całek to w 99% kwestia wprawy i znajomości standardowych podstawień np. pierwszego i drugiego podstawienia Eulera (ale tutaj to nie te)

Basia: nie strzelała; przecież widać, że dla x=1 współczynniki przy A,B,D i E się zerują

jikA: Nie strzelałem tutaj wiedziałem że trzy nawiasy dla x = 1 będą zerowe ponieważ zawierały w iloczynie x − 1 a tylko jedno wyrażenie nie zwierało tego nawiasu.

sprd: no tak No nic, powalcze jeszcze Dziekuje w kazdym razie Ciekawe tylko jak babce na cw. wyjasnie te podstawienie xD

Mila: Już odpowiadam. Aby otrzymać w mianowniku (t²+1) muszę w wyrażeniu x²+4 podstawić x=2t to mam: (2t)²+4=4t²+4=4(t²+1) Bardzo często tak się postępuje. W Krysickim masz wyprowadzony wzór na całkę,

	1		1		x
∫		dx=		arctgx+		+C
	(x2+1)2		2		2(x2+1)

Pamiętając o tym chciałam doprowadzić do tej postaci. Stosuje się przekształcenie

	x2+1−x2
∫		dx i rozbijasz na dwie całki, właśnie po to chciałam mieć(t2+1)2
	(x2+1)2

jikA: Ale ja mam błąd u siebie więc tego nie przepisuj jeżeli chcesz to mogę przepisać zaraz jak powinno być.

Basia: prawdę mówiąc, jak się dobrze przyjrzałam to nie wiem co to podstawienie nam da chyba nic ∫U{1}{(x²+4)² dx x = 2t dx = 2dt

	2dt
J = ∫
	(4t2+4)2

ale może Mila pokaże o co jej chodziło

Mila: Czekam na pytanie.

Basia: pisałam zanim Ty napisałaś o 22:37 już Cię rozumiem

Mila:

	1		t2+1		t2
J=∫		dt=∫		dt−∫		dt=
	(t2+1)2		(t2+1)2		(t2+1)2

	1		t
=∫		dt−∫t*		dt=arctgt−J1
	(t2+1)		(t2+1)2

	t
J1=∫t*		dt= przez części
	(t2+1)2

	t		t
t=u, dt=du; v=		; v=∫		dt; podst. t2+1=s; 2tdt=ds;
	(t2+1)2		(t2+1)2

	1		ds		1		1
v=		∫		=−		s−1=−		]
	2		s2		2		2*(t2+1)

cd

	1		1		dt		−t		1
J1=t*(−		)+		∫		dt=		+		arctgt
	2*(t2+1)		2		(t2+1)		2*(t2+1)		2

	t		1
J=arctgt+		−		arctgt=
	2*(t2+1)		2

	1		t
=		arctgt+
	2		2*(t2+1)

Mam nadzieję,że nic nie pokręciłam przy przepisywaniu

jikA:

	dx
To ja przedstawię inny sposób rozwiązania całki ∫
	(x2 + 1)2

podstawiamy x = tg(u) ⇒ dx = (tg²(u) + 1)du

	tg2(u) + 1		du
∫		du = ∫		= ∫ cos2(u)du =
	(tg2(u) + 1)2		tg2(u) + 1

	1		1
cos(2x) = 2cos2(x) − 1 ⇒ cos2(x) =		cos(2x) +
	2		2

	1		1		1		1
=		∫ cos(2u)du +		∫ du =		sin(2u) +		u + C =
	2		2		4		2

1		x		1
	*		+		arctg(x) + C.
2		x2 + 1		2

Mila: True.

Mila: Myślę, że problem może sprawić przekształcenie sin(2u) do końcowej postaci, potrzebna znajomość zależności między funkcjami cyklometrycznymi. Sposób ładny, ja przyzwyczajona do tradycyjnych przekształceń, zapominam o możliwości takiego podstawienia.