przestrzenie liniowe aaa: czy podzbior U przestrzeni V=K⁴ jest podprzestrzenia liniowa U={[x,y,z,t] x+y−z=0 ⋀ 2x+y=0}

Basia: co oznacza K ?

aaa: dowolne ciało

Basia: a działania ? "zwykłe" dodawanie i mnożenie ? o ciele można mówić dopiero wtedy gdy się te działania określi w dowolnym ciele to nie muszą być (a czasem i nie mogą) klasyczne dodawanie i mnożenia, bo elementy nie muszą być liczbami

aaa: klasyczne dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar

aaa: ja to zrobiłem tam zgodnie z definicja ∀{α,β) α+β∊U α=[x₁,y₁,z₁,t₁] β=[x₂,y₂,z₂,t₂] α+β=[x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂,t₁+t₂] więc 2(x₁+x₂)+y₁+y₂=2x₁+y₁+2x₂=y₂=0+0=0 więc∊ U i tak samo robie drugi przypadek z x+y−z=0 a następnie drugi warunek definicji z mnożeniem przez skalar

Basia: niezupełnie przecież jest x+y−z=0 i 2x+y=0 stąd: y = −2x x−2x−z=0 −x−z = 0 z = −x czyli tak naprawdę masz wektory [x, −2x, −x, t] gdzie x,t dowolne teraz kolejno sprawdzasz czy są spełnione wszystkie warunki to przekształcenie nie jest bezwzględnie konieczne, ale łatwiej będzie sprawdzać łączność, przemienność itd. wszystkie konieczne warunki masz opisane tutaj: http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa

aaa: ale mi chodzi o sprawdzenie czy to jest podprzestrzenią nie muszę sprawdzać warunków przestrzeni

Basia: a czym się Twoim zdaniem różni podprzestrzeń liniowa od przestrzeni liniowej ?

aaa: niepusty podzbiór V taki, że U⊂V 1) ∀α,β α+β∊U 2) ∀ a∊K ∀α∊U aα∊U

Basia: nie różni się niczym; ale masz rację, że wystarczy sprawdzić te dwa warunki, które podałaś skoro wiadomo, że V jest liniowa w takim razie z czym jeszcze masz problem ?

aaa: inny przykład u={[x,y,z,t] x+y−z=0} muszę też sprawdzić te dwa warunki tylko nie wiem za bardzo jak to rozpisać

aaa: czy zgodnie z tym x+y−z=0 t=0?

Basia: u = [x₁,y₁,z₁,t₁] v = [x₂,y₂,z₂,t₂] u+v = [x,y,z,t] ⇔ x=x₁+x₂, y=y₁+y₂, z=z₁+z₂, t=t₁+t₂ z treści wynika, że x₁,y₁,z₁,t₁,x₂,y_2z2,t₂ ∊ K ⇒ x=x₁+x₂, y=y₁+y₂, z=z₁+z₂, t=t₁+t₂∊K x+y−z = x₁+x₂+y₁+y₂−z₁−z₂ = (x₁+y₁−z₁) + (x₂+y₂−z₂) = 0+0 = 0 ⇒ u+v∊U analogicznie αu = [αx₁,αy₁,αz₁,αt₁] x₁,y₁,z₁,t₁,α∊K ⇒ αx₁,αy₁,αz₁,αt₁∊K i liczysz αx₁+αy₁−αz₁ = α(x₁+y₁−z₁) = α*0 = 0 ⇒ αu∊U

Basia: t jest dowolne

aaa: ten poprzedni przykład co rozpisałem wcześniej na górze jest bardzo podobnie zrobiony α=[x1,y1,z1,t1] β=[x2,y2,z2,t2] α+β=[x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2] więc 2(x1+x2)+y1+y2=2x1+y1+2x2=y2=0+0=0 więc∊ U napisałaś, że jest to niezupełnie w czym tu jest problem, ja to chciałem zrobić rozbijajać na przypadki wektor postaci z+y−z=0 i 2x+y=0

Basia: potem przyznałam Ci rację; jest w porządku po prostu czegoś przedtem nie doczytałam

aaa: uf bardzo dziękuje za pomoc wreszcie mi się to rozjaśniło