nierownosci,dowod
wulkanizator: chcialbym, zeby ktos dobry przesledzil moje rozumowanie i je potwierdzil lub skorygowal bledy.
bo nie mam jeszcze wprawy w dowodzeniu nierownosci
1. Wykazać, ze : (a+b)(b+c)(a+c) ≥ 8abc
a+b ≥ 2
√ab b+c≥ 2
√bc a+c≥ 2
√ac
(a+b)(b+c)(a+c) ≥ 2
√ab * 2
√bc * 2
√ac
(a+b)(b+c)(a+c) ≥ 8
√a2b2c2
(a+b)(b+c)(a+c) ≥ 8abc
2. Wykazać, ze : x
2 + y
2 + z
2 ≥ xy + yz + xz
(x
2 + y
2)/2 ≥
√x2y2 => x
2 ≥ 2
√x2y2 − y
2
(y
2 + z
2)/2 ≥
√y2z2 => y
2 ≥ 2
√y2z2 − z
2
(x
2 + z
2)/2 ≥
√x2z2 => z
2 ≥ 2
√x2z2 − x
2
x
2 + y
2 + z
2 ≥ − x
2 − y
2 − z
2 + 2
√x2y2 + 2
√y2z2 + 2
√x2z2
2(x
2 + y
2 + z
2) ≥ 2(
√x2y2 +
√y2z2 +
√x2z2)
x
2 + y
2 + z
2 ≥ 2(
√x2y2 +
√y2z2 +
√x2z2) ≥
√x2y2 +
√y2z2 +
√x2z2
19 sie 20:32
wulkanizator: bez tej przedostaniej linijki i tego zapisu '≥ 2(
√x2y2 +
√y2z2 +
√x2z2)'
nie wiem, czemu tak napisalem
19 sie 20:46
wulkanizator: nalezaloby jeszcze dodac to:
x2 + y2 + z2 ≥ √x2y2 + √y2z2 + √x2z2
x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz
19 sie 20:46
wulkanizator: moglby ktos to sprawdzic?
20 sie 01:05
Basia:
Pierwsze bez zarzutu.
W drugim:
Rozumowanie jest poprawne. Zapis zasadniczo też. Tylko po co Ci te pierwiastki?
(x−y)2≥0
x2−2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
analogicznie:
x2+z2≥2xz
y2+z2≥2yz
po dodaniu stronami
2(x2+y2+z2)≥2(xy+xz+yz) /:2
x2+y2+z2≥xy+xz+yz
20 sie 21:52
Basia:
P.S. Pierwsze bez zarzutu pod warunkiem, że a,b,c≥0, bo ⇔
a+b = (√a−p{b)2+2√a√b
a+b−2√ab=(√a−√b)2≥0
a+b≥2√ab
20 sie 21:58
wulkanizator: tak, tak, w poleceniu bylo wlasnie, ze liczby sa nieujemne
21 sie 00:07
wulkanizator: pierwiastki byly po to, ze kazali udowodnic z wlasnosci ciagu arytm. i geo.
21 sie 00:09
wulkanizator: aaa, i wielkie dzieki za sprawdzenie
21 sie 00:40