Ciągi... Patrycja: Prosze o dokładne rozpisanie bo nie rozumiem tego : uzasadnij ze ciąg (a_n) jest monotoniczny a₁=8 a_n+1=a_n−¹_2ⁿ dla n wieksze−równe 1 Dane sa ciągi a_n= ⁿ⁻¹_n i b_n = ⁴ⁿ⁻¹_n zbadaj monotoniczność ciągów a) a_n b)(a_n+b_n)

Janek191:

	n −1
an =
	n

	4 n − 1
bn =
	n

a)

	( n + 1) − 1		n
an + 1 =		=
	n + 1		n + 1

Janek191:

	n −1
an =
	n

	4 n − 1
bn =
	n

a)

	( n + 1) − 1		n
an + 1 =		=
	n + 1		n + 1

więc

	n		n − 1
an + 1 − an =		−		=
	n + 1		n

	n*n − ( n −1)*( n + 1)
=		=
	( n + 1)*n

	n2 − ( n2 − 1)		1
=		=		> 0 , bo n*( n + 1) > 0
	( n + 1)*n		n*( n + 1)

a_{n + 1} − a_n > 0 , więc ciąg ( a_n) jest rosnący. =========================================== b)

	n − 1		4 n − 1		5 n − 2
cn = an + bn =		+		=
	n		n		n

zatem

	5*(n + 1) − 2		5 n + 5 − 2
c n + 1 =		=		=
	n + 1		n + 1

	5 n + 3
=
	n + 1

i dlatego

	5 n + 3		5 n − 2
cn + 1 − cn =		−		=
	n + 1		n

	( 5 n + 3)*n − (5 n − 2)*(n + 1)
=		=
	( n + 1)* n

	5 n2 + 3 n − ( 5 n2 + 5 n −2 n − 2)		2
=		=		> 0
	n*(n + 1)		n* (n + 1)

bo n*( n + 1) > 0 dla dowolnych n ∊ N. c_{n + 1} − c_n > 0, więc ciąg c_n = a_n + b_n jest rosnący. ===================================================

Janek191:

	n −1
an =
	n

	4 n − 1
bn =
	n

a)

	( n + 1) − 1		n
an + 1 =		=
	n + 1		n + 1

więc

	n		n − 1
an + 1 − an =		−		=
	n + 1		n

	n*n − ( n −1)*( n + 1)
=		=
	( n + 1)*n

	n2 − ( n2 − 1)		1
=		=		> 0 , bo n*( n + 1) > 0
	( n + 1)*n		n*( n + 1)

a_{n + 1} − a_n > 0 , więc ciąg ( a_n) jest rosnący. =========================================== b)

	n − 1		4 n − 1		5 n − 2
cn = an + bn =		+		=
	n		n		n

zatem

	5*(n + 1) − 2		5 n + 5 − 2
c n + 1 =		=		=
	n + 1		n + 1

	5 n + 3
=
	n + 1

i dlatego

	5 n + 3		5 n − 2
cn + 1 − cn =		−		=
	n + 1		n

	( 5 n + 3)*n − (5 n − 2)*(n + 1)
=		=
	( n + 1)* n

	5 n2 + 3 n − ( 5 n2 + 5 n −2 n − 2)		2
=		=		> 0
	n*(n + 1)		n* (n + 1)

bo n*( n + 1) > 0 dla dowolnych n ∊ N. c_{n + 1} − c_n > 0, więc ciąg c_n = a_n + b_n jest rosnący. ===================================================