Wykaż, że środki odcinków tworzą hiperbole. itd. Daniel: Zadania z geometrii analitycznej. Nie rozumiem pojęć, przez co nie mogę wykonać tego zadania, cykl rozwiązania mam. Prosiłbym o wytłumaczenie, najlepiej z rysunkiem. ZAD.1 Dany jest odcinek AB taki, że jego jeden koniec leży na dodatniej półosi OX, a drugi na dodatniej półosi OY. Pole trójkąta AOB jest równe 6. Wykaż, że zbiór wszystkich środków takich odcinków tworzy jedną gałąź hiperboli y = ¹²_x ZAD.2 Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m, dla których równanie x² + 2mx + y² − 4y + 3m + 8 = 0 przedstawia okrąg o środku należącym do półpłaszczyzny domkniętej nad prostą o równaniu y = 3x − 7. Jeżeli, będzie potrzeba, mogę przedstawić cykl rozwiązań.

Mila: Jeśli chodzi o (1) to poproś Pigora, jest mistrzem w takich zadaniach. 2) co to znaczy, że podasz cykl rozwiązań, odpowiedź, to podaj.

Fixed: A takie zadania to w liceum robisz czy to studia?

PW: Niech A=(x,0) − punkt na dodatnie półosi OX i B=(0,y) − punkt na dodatniej półosi OY

	x+0		0+y		x		y
Środek odcinka AB to punkt P = (		,		)=(		,		).
	2		2		2		2

Jednocześnie pole trójkąta prostokątnego AOB jest równe 6, to znaczy

	xy
		=6
	2

czyli

	x	y
			=3,
	2	2

	y		3
(1)		=
	2		x   2

	x		y
co należało pokazać (środki odcinków opisanych w zadaniu mają współrzędne		i
	2		2

	x		y
spełniające równanie (1)). Jeżeli dla klarowności wypowiedzi podstawimy		=a i		=b,
	2		2

to widać będzie, że współrzędne środków spełniają równanie

	3
(1') b=
	a

− autor zadania pomylił się – w treści zadania powinno być hiperboli

	3
y=
	x

Mila: Czekam na odpowiedzi do 2)

PW:

	19
m≥		?
	3

Daniel: Tak, więc odpowiedź do pierwszego wygląda następująco: Zapisanie wzoru na pole trójkąta ABC: P=¹₂ xy i zapisanie równania ¹₂ xy = 6. Rozwiązanie bezbłędne: Uzasadnienie tezy zadania: y = ¹²_x, x>0, zatem równanie przedstawia jedną gałąź hiperboli. Zad. 2 Przekształcenie równania okręgu do postaci: (x+m)² + (y−2)² = m² − 3m − 4 Istotny postęp: zapisanie nierówności określającej opisaną w zadaniu półpłaszczyznę: y ≥ 3x − 7 i współrzędnych środka okręgu S = (−m, 2) Pokonanie zasadniczych trudności: Zapisanie układu nierówności: m² − 3m − 4 > 0 2 ≥ −3m − 7 Rozwiązanie bezbłędne m ∊ <−3;−1> u (4, +∞)

Daniel: Edit: W liceum Fixed.

Daniel: PW : Z tego co sam rozumiem z zadania powinno być : ¹₂ xy = 6 | * 2 xy = 12 | : x y = ¹²_x ¹²_x = ¹²_x Ale naprawdę nie rozumiem jakie to są połowy odcinków, mógłbys to narysować szkicowo?

PW: W zadaniu nie pytają o związek między współrzędnymi końców odcinków − rzeczywiście jest to xy=12. Oni pytają o związek między współrzędnymi środków tych odcinków. Może przelicz to sobie sami inaczej − przy innych oznaczeniach. Niech współrzędne końców odcinków na półosiach będą równe 2y i 2y (możemy sobie oznaczyć jak nam się podoba). Wtedy − jak łatwo obliczysz − współrzędne punktu P − środka odcinka − będą

	3
równe x i y. Równanie y=		"wyjdzie" bezdyskusyjnie i nie trzeba będzie nic kombinować,
	x

tak jak to zrobiłem pod koniec pierwszej wersji.Ale nie przerażaj mnie − nie wiesz jak narysować odcinek i obliczyć jego środek?

Mila: x² + 2mx + y² − 4y + 3m + 8 = 0 przedstawia okrąg o środku należącym do półpłaszczyzny domkniętej nad prostą o równaniu y=3x−7 przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej (x+m)²−m²+(y−2)²−4+3m+8=0 (x+m)²+(y−2)²=m²−3m−4 środek: S=(−m,2) i r²=m²−3m−4 środek okręgu leży na prostej: y=2 Aby to rownanie przedstawiało równanie okręgu musi być spełniony warunek; r>0⇔ m²−3m−4>0 Δ=25 m₁=−1 lub m₂=4 m<−1 lub m>4 (−m,2) leży powyżej prostej y=3x−7 y≥3x−7⇔2≥3*(−m)−7 2≥−3m−7⇔3m≥−9⇔m≥−3 i (m<−1 lub m>4) ⇔m∊<−3,−1> ∪<4,∞)

Daniel: OK rozumiem , tylko (4;+∞) Dzięki wielkie .

Mila: Co z tym przedziałem? np .m=5 to S=(−5,2) pasuje? Pisz pytanie dokładnie.