uzasadnij, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym Kasia: Dany jest ciąg geometryczny (an) o wyrazach dodatnich. Uzasadnij, że ciąg (bn) określony wzorem bn= log²an+1− log²an jest ciągiem arytmetycznym.

Skipper: ... pewnie to miało być tak b_n=log₂a_n+1−log₂a_n

Kasia: właśnie nie. Przy podstawie 10 i potęga 2

krystek: log²(a_n+1)−log²a_n skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia

Mila: a_n+1=a_n*q, q iloraz ciągu geometrycznego b_n=log²a_n+1−log²a_n b_n+1=log²a_n+2−log²a_n+1 Należy wykazać, że b_n+1−b_n=const. b_n+1−b_n=log²a_n+2−log²a_n+1−log²a_n+1+log²a_n b_n+1−b_n=log²a_n+2−2log²a_n+1+log²a_n log²a_n+2=[log(a_n*q²)]²=[log(a_n)+2logq]²=log²a_n+4logq*log(a_n)+4log²q log²a_n+1=[log(a_n*q)]²=[log(a_n)+logq]²=log²(a_n)+2log(a_n)*logq+log²q b_n+1−b_n=log²a_n+4logq*log(a_n)+4log²q−2log²(a_n)−4log(a_n)*logq−2log²q+log²a_n b_n+1−b_n=4log²q−2log²q=2log²qconst ( nie zależy od a_n)

Skipper: b_n+1−b_n=log²a_n+2−log²a_n+1−log²a_n+1+log²a_n= =log²a_nq²−2log²a_nq+log²a_n= =(loga_n+2logq)²−2(loga_n+logq)²+log²a_n= =log²a_n+4loga_nlogq+4log²q−2log²a_n−4loga_nlogq−2log²q+log²a_n=2log²q

Kasia: BARDZO DZIĘKUJĘ! Wiedziałam, że trzeba wyznaczyć różnicę, ale utonęłam po pierwszym rozpisaniu!

Eta:

Mila: