Liczby rzeczywiste bezendu: Udowodnij, że dla każdej liczby x∊(−1,5) wyrażenie √4x²+12x+9+2√x²−12x+36 ma stałą wartość. korzystam z √x²=|x| |2x+3|+2|x−6| x=0 2x+3+2(−x+6)=2x+3−2x+12=15 x=1 2x+3+2(−x+6)=2x+3−2x+12=15 x=2 2x+3+2(−x+6)=2x+3−2x+12=15 x=3 2x+3+2(−x+6)=2x+3−2x+12=15 x=4 2x+3+2(−x+6)=2x+3−2x+12=15 dla x∊(−1,5) wyrażenie ma wartość 15 Proszę niech ktoś sprawdzi

Dominik: slusznie sprowadziles to do |2x + 3| + 2|x − 6|

	−3		−3
⎧ 2x + 3 dla x ≥   |2x + 3| = ⎨
	2		2

	⎧	x − 6 dla x ≥ 6
|x − 6| =	⎩	−(x − 6) dla x < 6

zatem dla x∊(−1, 5) mamy 2x + 3 − 2(x − 6) = 2x + 3 − 2x + 12 = 15 cnw

bezendu: czyli dobrze to uzasadniłem podstawiając każdą liczbę z przedziału ?

PW: Wiadomo, że suma funkcji liniowych jest funkcją liniową. Ponieważ miałeś podaną odpowiedź, wystarczyło obliczyć wartości funkcji |2x+3|+2|x−6| na krańcach przedziału − jeśli są jednakowe, to funkcja na tym przedziale jest stała.

krystek: wystarczy zauważyś ,że w tym przedziale Ix−6I=−(x−6)

Dominik: nie podstawiles kazdej liczby z przedzialu, bo jest ich nieskonczenie wiele.

bezendu: @PW czyli wystarczyło tylko dla x=0 i x=4

PW: Nawet dla −1 i 5 f(−1)=f(5), a funkcja jest "kawałkami liniowa" Żeby jednak nie wchodzić w dyskusje o ciągłości (tak "kawałki wykresu" tworzą łamaną − nie ma tam miejsc, w których następuje "skok" − rozerwanie wykresu), można tak jak zrobiłeś − podstawić np. 0 i 4, po czym stwierdzić, że funkcja na całym przedziale (−1,5) jest liniowa i określona jednym wzorem, więc na całym tym przedziale jest stała. Komentarz słowny jest niezbędny, ale za to nie trzeba mozolnie wypisywać wszystkich definicji na każdym z przedziałów.

bezendu: komentarz słowny czyli jaki ?

asdf: @PW f(x) = a(x) + b(x) a(x) = |2x + 3| b(x) = |x − 6| x ∊ (−1;5) brak ekstremum lokalnych w przedziale (−1;5) dla funkcji a(x) oraz b(x) o to Ci chodzilo?

PW: Nie aż tak, chodziło mi o to, że f jest ciągła, ale tego pojęcia nie ma w szkole średniej zapewne, więc lepiej sprawdzić dla dowolnych punktów wewnętrznych z przedziału, np, że f(0)=f(4), tak jak to zrobił bezendu − i dodać komentarz, że f jest na tym przedziale liniowa, a więc stała na całym przedziale.

bezendu: ok dziękuje za wytłumaczenie

krystek: @21:14 wyjaśniłam

bezendu: tak widziałem @krystek

MQ: Przekształcając to do postaci: 2*(|x+³₂|+|x−6|) widać, że jest to podwojona suma odległości punktu o wsp. x od punktów o wsp. −³₂ i 6 Ponieważ przedział (−1, 5) mieści się pomiędzy tymi punktami, to suma odległość punktu z tego przedziału od wyżej wspomnianych punktów będzie stała i równa odległości między nimi. Podwojona suma tak samo.

PW: @MQ: Też się czegoś nauczyłem, świetny pomysł! Bardzo mi się podoba − nareszcie oderwanie od standardowego "rozbijania na przedziały".