Zasada indukcji: 7^n-(-3)^n podzielne przez 10. Juliusz: Z listy przykładowych zadań na kolokwium prof. Hotlosia. Studium Talent − Wrocław Stosując zasadę indukcji matematycznej, pokazać, że 7ⁿ−(−3)ⁿ jest podzielne przez 10, dla każdego naturalnego n.

Juliusz: 7ⁿ−(−3)ⁿ=10k 7=10−3 (10−3)ⁿ−(−3)ⁿ=10k Rozpatruję dwa przypadki: n−nieparzyste: n=1 10−3+3=10 n=2m−1 (10−3)^2m−1−(−3)^2m−1= =(10−3)^2m−1+3^2m−1= (bo 2m−1 jest nieparzyste) =10*k (gdzie k∊N) n+2=2m+1 (10−3)^2m+1+3^2m+1= =[10*(10−3)^2m−3^2m+1]+3²{m+1}= =10*(10−3)^2m n−parzyste: n=2 (10−3)²−(−3)²=(10−3)²−3²=10²−2*10*3+3²−3²=10(10−(2*3))+9−9=10*4=40 (10−3)²−(−3)²=40 n=2m (10−3)^2m−(−3)^2m= =(10−3)^2m−3^2m= (bo 2m jest parzyste) =10*k (gdzie k∊N) n+2=2m+2 (10−3)^2m+2+3^2m+2= =[10*(10−3)^2m+1−3^2m+2]+3²{m+2}= =10*(10−3)^2m+1

Janek191: 7ⁿ − ( − 3)ⁿ jest podzielne przez 10 I krok : n = 1 7¹ − (−3)¹ = 7 + 3 = 10 − jest podzielne przez 10 II krok Zakładam, że 7^k − ( − 3)^k = 10 s ⇒ ( − 3)^k = 7^k − 10 s , gdzie s ∊ N Mam pokazać, że z prawdziwości tezy dla k wynika jej prawdziwość dla k + 1 7 ^{k + 1} − ( − 3) ^{k + 1} = 7 * 7^k − ( −3)*( −3)^k = 7* 7^k + 3 * (−3)^k = = 7 * 7^k + 3*[ 7^k − 10 s ] = 7* 7^k + 3 *7^k − 3 *10 s = 10* 7^k − 10 *3 s = = 10*( 7^k − 3 s) ← liczba podzielna przez 10 Na mocy zasady indukcji matematycznej liczba 7ⁿ − ( −3)ⁿ jest podzielna przez 10. ckd.

Juliusz: Dzięki, twoja metoda jest dużo prostsza.