Oblicz długość promienia okręgu oliwka552: W trapez prostokątny wpisano okrąg, a następnie jeszcze jeden okrąg styczny do dwóch boków tego trapezu. oblicz długość promienia mniejszego okręgu, jeśli dolna podstawa wynosi 28, krótsze ramię 24, dłuższe ramię 25 i górna podstawa 21.

Janek191: Niech ABCD będzie danym trapezem prostokątnym. a = AB = 28 h = AD = 24 c = BC = 25 b = CD = 21 R − promień większego okręgu r − promień mniejszego okręgu R = 0,5 h = 12 O − środek większego okręgu O₁ − środek mniejszego okręgu K − punkt styczności większego okręgu z dolną podstawą trapezu L − punkt styczności większego okręgu z dłuższym ramieniem trapezu Mamy AK = R = 12 więc BK = 28 − 12 = 16 zatem BL = 16 OK = OL = 12 Z tw. Pitagorasa mamy OB² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400 więc OB = 20 S − punkt styczności obu okręgów OS = R = 12 więc SB = 20 − 12 = 8 K₁ i L₁ − punkty styczności mniejszego okręgu z dolną podstawą trapezu i jego dłuższym ramieniem Mamy KK₁² + ( R − r)² = OO₁² więc KK₁² + ( 12 − r)² = ( 12 + r)² KK₁² + 144 − 24 r + r² = 144 + 24 r + r² KK₁² = 48 r ============

12 − r
	= U { KK1}{16}
12

12* KK₁ = 16*( 12 − r) / : 12

	4
KK1 =		*( 12 − r)
	3

zatem

16		9
	*( 12 − r)2 = 48 r / *
9		16

( 12 − r)² = 27 r 144 − 24 r + r² = 27 r r² − 51 r + 144 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−− Δ = ( − 51)² − 4*1*144 = 2 601 − 576 = 2 025 √Δ = 45 r = ( 51 − 45)/2 = 3 Odp. r = 3 =======================

Bogdan: Niektóre dane liczbowe podane w treści zadania są zbędne. |BD| = √12² + 16² = 20

	|BE|		|BC|
Z podobieństwa trójkątów: BED i BCA:		=
	|BD|		|CA|

12		12−r		3		12−r
	=		⇒		=		⇒ 36+3r = 60−5r ⇒ 8r = 24 ⇒ r = 3
20		12+r		5		12+r