Konstrukcja trójkątów. GluEEE: Jak skonstruować trójkąt wpisany w okrąg i opisany okręgu, znając: A. 3 kąty. B. 2 kąty i jeden bok. C. 1 kąt i 2 boki. D. 3 boki. Chodzi o to, że na samym początku mam okrąg i na nim lub w nim mam skonstruować.

PW: A. Zakładamy, że mamy R − promień okręgu i O − środek okręgu i kąty trójkąta wpisanego α, β, γ, których suma jest równa katowi półpełnemu Konstrukcja trójkąta wpisanego. Jeżeli trójkąt wpisany ma kąt o mierze α, to kąt środkowy ma miarę 2α (jest takie twierdzenie − kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku). Konstruujemy więc kąt środkowy 2α. Ramiona kąta wyznaczą na okręgu dwa punkty B i C − wierzchołki szukanego okręgu. Mając dwa wierzchołki łatwo znajdziemy trzeci − wystarczy zbudować kąt β o wierzchołku B i jednym ramieniu BC − drugie ramię wyznaczy na okręgu wierzchołek A. Kąt ACB będzie równy kątowi γ z uwagi na fakt, że α+β+γ=180°. Konstrukcja zakłada, że kąt α ma wierzchołek A i kąt β ma wierzchołek B.

GluEEE: Ok, proszę o następne Dziękuję.

PW: A. Trójkąt opisany. Konstruujemy styczną do okręgu w dowolnym punkcie P. Na stycznej będzie leżał jeden z boków trójkąta opisanego. Gdybyśmy wiedzieli jak poprowadzić drugą styczną, która wyznaczy wierzchołek A trójkąta po przecięciu się z pierwszą, to zadanie byłoby rozwiązane. Wiemy, że środek okręgu stycznego do ramion kąta leży na dwusiecznej tego kąta. Jeżeli więc szukamy punktu A, to wiemy, że kąt OAB będzie połową kąta α. Wiemy, że trójkąt OPA jest prostokątny (styczna jest prostopadła do promienia OP), zatem kąt POA będzie miał miarę

	α
δ=90°−		.
	2

Konstrukcja kąta δ o wierzchołku O i jednym z ramion OP daje punkt A jako punkt wspólny drugiego ramienia i skonstruowanej na wstępie stycznej. Powtórzenie tego rozumowania dla

	β
punktu B, czyli konstrukcja kąta 90°−		o wierzchołku O i jednym ramieniu OP pozwoli
	2

uzyskać punkt B. Poprowadzenie stycznych do okręgu przechodzących przez A i B − różnych od prostej AB − kończy konstrukcję, wspólny punkt tych stycznych to trzeci wierzchołek C trójkąta. Na pozostałe zadania namów siebie, mnie już oczy odmawiają posłuszeństwa.

GluEEE: Proszę o pomoc. Próbowałem z tymi bokami coś ogarnąć. To chyba zależy od porównania z promieniem tego okręgu.. Dziękuję i proszę