geometria analityczna Magda: Dane są punkty: A=(−3, −7) i C=(2, −4), wyznacz współrzędne B i D tak, aby czworokąt ABCD był kwadratem, którego przekątna to odcinek AC. Pani kazała Nam to wyliczyć za pomocą okręgu, wcześniej liczyliśmy podobne, z trójkątem, ale była podana prosta i zestawiliśmy równanie prostej okręgu i podanej prostej (układ równań) i wyszło, a tutaj męczę się i nie mogę zrobić. Obliczyłam długość odcinka AB, potem r czyli połowa z tego, środek odcinka i miałam równanie okręgu plus prostą AC i zrobiłam układ równań, ale wychodzą kolosalne liczby i w końcy delta wyszła mi ujemna.

ff: jak już to układ równań: równanie okręgu i prosta przechodząca przez CD (przechodzi przez środek okręgu, i jest prostopadła do prostej przechodzącej przez AB)

ff: pomieszałem punkty: środek okręgu jest w połowie AC, oznaczmy go jako O promień okręgu to odległość |AO|, czyli masz równanie okręgu wyliczasz równanie prostej prostopadłej do AC, przechodzącej przez O − będzie to prosta przechodząca przez punkty B i D. rozwiązujesz układ: prosta i okrąg

Eto": przekatna to AC zatem promien to polowa AC a nie AB srodek okregu lezy na srodku przekatnej AC pozniej w tablicach maturalnych zobacz sobie jak wyglada rownanie okregu podstaw tam wspolrzedne srodka oraz promien jak wiadomio przekatne w kwadracie przecinaja sie pod katem prostym wyznacz rownbanie prostej prostopadlej do prostej AC i teraz juz wiesz ze punkt B ma nalezec do rownania okregu oraz do rownania prostej prostopadlej do prostej AC czyli prosta zawierajaca punkty B i D i masz piekny uklad rownan z ktorego obliczysz wspolrzedne punktu B i D ( okrag oczywiscie musi byc opisany na tym kwadracie zeby przecinal punkty B i D )

Magda: też tak robiłam, jak piszecie, może coś źle obliczyłam, a więc sprobuje jeszcze raz. tak−tam miało być AC, a nie AB, pomyliłam się

Magda: a jak wyznaczam prostą prostopadłą do AC to biorę jako punkt wspólny O tak?

Magda: no i o samo mi wyszło, delta mniejsza od zera

Eto": zapisz oblicznia

Magda:

	1		11
(x+		)2 + (y+		)2 = 17
	2		2

	5		38
y=−		x −
	3		6

w pierwszym pod y wrzuciłam to drugie równanie i wychodzą mi duże liczby i delta mniejsza od zera.

Krzysiek : no to policzmy dlugosc odcinka AC |AC|= √(x₂−x₁)²+(y₂−y−1)² AC=√(2−(−3)²+(−4−(−7)²

	√34
|AC=√52+32=√34 czyli promien r =
	2

W rownaniu okregu promien jest do potegi ² wiec jesli dobrze policzylas srodek to rownanie okregu wyglada tak

	√34
(x+1/2)2+(y+11/2)2= (		)2
	2

	34
(x+1/2)2+(y+11/2)2=
	4

Magda: no tak, bo ja podzieliłam 34 przez 2 i mi wyszło 17 pod pierwiastkiem, także brawa dla mnie Nie wiem skąd mi się biorą takie głupie błędy, dzięki, teraz wszystko ok

Krzysiek : Na zdrowie

Magda:

	5
no, ale i tak mi nie wyszło / możesz mi obliczyć jeszcze tą prostą? Mi wyszła: y= −		x
	3

	38
−
	6

Krzysiek : Rownanie prostej AC To napiszmy rownanie prostej AC AC (x₂−x₁)((y−y₁)=(y₂−y₁)(x−x₁) AC(2+3)(y+7)=(−4+7)(x+3) 5y+35=3x+9 5y=3x−26 to y=3/5x−26/5 ale nam jest potrzebny tylko sam wspolczynnik kierunkowy prostej a=3/5 wiec wspolczynnik prostej prostopadlej wyniesie a=−5/3 Napiszmy rownanie prostej prostopadlej do prostej AC i przechodzacej przez punkt O(−1/2 , −11/2 ) (y−y₁)=a(x−x₁) (y+11/2)=−5/3(x+1/2) y=−5/3x−5/6−11/2 y=−5/3x−38/6 czyli dobrze . Napisalem Ci cale rownanie prostej AC ale jesli potrzebny CI jest sam wsppolczynnik np tak jak

	y2−y1
tutaj to mozesz policzyc z wektorow lub ze wzoru a=
	x2−x1

Magda: no mam tak samo, reszta nie wychodzi, albo ja znowu popełniam jakiś błąd w układzie równań

Krzysiek : No to napisz jak liczysz

Krzysiek : No to dostaniemy taki uklad rownan(x+1/2)²+(y+11/2)²=34/4 i y=(−5/3)x−38/6 no to do 1 za y (x+1/2)² +((−5/3)x−38/6+33/6)²=34/4(x+1/2)²+((−5/3)x−5/6)²=34/4x²+x+1/4+25/9x²+ (50/18)x+25/36−34/4=0 jak to sobie policzysz to dostaniesz cos takiego

	34		68		272		34		34		68
		x2+		x−		=0 ⇒		x2+		x−		=0 /*9 zeby pozbyc sie
	9		18		36		9		9		9

ulamkow 34x²+34x−68=0 bo 0*9=0 ale to wiesz Δ=b²−4a*c=34²−4*34*(−68)=10404 to √Δ=102

	−b−√Δ		−136		−b+√Δ		−34+102
wiec x1=		=		=−2 a x2=		=		=1
	2a		68		2a		68

	−5		38
Mamy wspolrzedne xowe teraz do rownania prostej y=		x−		podstawmy wyliczone x i
	3		6

obliczymy wspolrzedne punktow y NO to zax=−2 y= (−5/3)*(−2)−38/6= −3 Oznacz go jako B(−2,−3) Teraz zax=1 to y=(−5/3)*1−38/6= −8 Oznacz go jako D(1,−8) Teraz narysuj te wszystkie punkty i sprawdz czy to jest kwadrat . Przedtem moze sprawdz czy dlugosc odcinka AC=BD wiec musisz policzyc dlugosc odcinka BD zw znanego wzoru . czesc. Napisz czy dobrze wyszlo

Krzysiek : mam nadzieje ze sie polapiesz bo tak wyszlo to pisanie (nie wiem czyja to wina ) ale tam gdzie jest =34/4 ma byc od nowa rownanie a nie 34/4 (x+1/2 )² itd i potem tez .

Magda: układy równań tak samo, również podstawiałam y pod ten pierwszy, jak zwykle u mnie błędy rachunkowe, ale dzięki To zadanie nie dawało mi spokoju

Magda: Wyszło dobrze