Dowód. Nierówność . . V.Abel:

	1
Udowodnij nierówność a2 + b2 ≥		, jeżeli a + b ≥ 1
	2

Jak to zrobić, przecież nic nie wiem, jakie znaki mają liczby a i b. Przecież nie muszą być dodatnie obie, bo np. 5+(−3)=2≥1. Na pewno będą tu jakieś wzory skróconego, to 100%. Zechciałby ktoś to porządnie omówić/wytłumaczyć? Wtedy poradzę sobie z tym i analogicznymi. Bardzo proszę.

Vax:

	(a+b)2
Udowodnij, że a2+b2 ≥
	2

V.Abel: ale dlaczego właśnie to mam udowodnić, z czego to wynika? . .

PW: Dowód jest właśnie zastosowaniem nierówności między średnimi, o których mówiliśmy wczoraj. Wiadomo, że dla dowolnych a,b∊R

	a+b		a2+b2
(1) (		)2 ≤
	2		2

(nierówność między średnią arytmetyczna a geomatryczną). Po zastosowaniu założenia

	1		a+b
(2) (		)2 ≤ (		)2.
	2		2

Porównanie skrajnych wyrazów (1) i (2) daje

	1		a2+b2
		≤		,
	4		2

skad po pomnozeniu przez 2 wynika teza.

PW: Sprostowanie − to jest nierówność między kwadratem średniej arytmetycznej a średnią arytmetyczną kwadratów.

V.Abel: 1.Ok, ale powiem szczerze, że sam próbowałem robić metodą dowodu nie wprost. Bo jak dla mnie to jest implikacja− jeżeli a+b..., to a²+b²... zaprzeczyłem następnik, że jest nieprawdziwy (poczytałem trochę o logice i dowodach ) jednak nie sądzę abym miał prawo dowodząc w ten sposób podstawiać za a+b jedynki. Co zrobić? 2. Inną sprawą jest, że z tyłu jest podpowiedź do zadania i napisane jest: abym wyszedł od

	1
a+b≥1 i w wyniku tożsamych przekształceń doszedł do a2+b2≥		lub zacząć od końca i
	2

dojść do założeń. Super, tylko to tym bardziej nie jest takie "hop siup", gdyż tu też nie czuję aby można było podstawiać za 1 a+b Dzięki za dowód, ale mógłbyś/mogłabyś rozwiać moje wątpliwości, błagam . . .

Saizou : wymyśliłem coś takiego ale nie wiem czy to jest poprawne a+b≥1 (a+b)²≥1 a²+2ab+b²≥1 a²+b²≥1−2ab odpisuję nierówność spełnioną dla każdej liczy a,b ∊R a²+b²≥2ab (łatwo ją udowodnić) a²+b²≥1−2ab a²+b²≥2ab dodając stronami −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2(a²+b²)≥1

	1
a2+b2≥
	2

cnu

jikA: Inny sposób to wyznaczyć z nierówności a + b ≥ 1 na przykład b i mamy b ≥ 1 − a wstawiamy do drugiej nierówności dostajemy

	1
a2 + (1 − a)2 ≥
	2

	1
a2 + 1 − 2a + a2 ≥
	2

	1		1
2a2 − 2a +		≥ 0 / *
	2		2

	1
a2 − a +		≥ 0
	4

	1
(a −		)2 ≥ 0.
	2

Podaję tylko inne rozwiązanie chociaż najszybsze i najlepsze podali Ci wyżej.

Mila: Dowód Saizou bardzo ładny. Inna propozycja. ZAł. a+b≥1 Teza:

	1
a2+b2≥
	2

D. (1) a²+b²≥2ab dla każdego a,b∊R [a²+b²−2ab≥0⇔(a−b)²≥0 prawdziwa dla a,b ∊R) 1≤a+b z zał. , podnoszę obustronnie do kwadratu (mogę, obie strony dodatnie) 1²≤a²+2ab+b²≤a²+a²+b²+b²⇔ == ================ 1≤2(a²+b²) /:2

1
	≤a2+b2
2

	1
a2+b2≥
	2

cnw

V.Abel: a nie trzeba rozpatrywać tego, że te liczby mogą być obie dodatnie lub jedna + druga − ? . . aha, a co jak mam a⁴+b⁴≥¹₈ przy tych samych założeniach, udowadniam krok po kroku a+b−−>a²+b²−−>a⁴+b⁴ czy jakoś od razu? . .

V.Abel: Mila co tu masz na myśli : "12≤a2+2ab+b2≤a2+a2+b2+b2⇔" ? . .

Mila: a²+b²≥2ab masz udowodnione, zastąpiłam wyraz (2ab) większą sumą (a²+b²) 1≤a+b / obustronnie do kwadratu, mogę, bo obie strony dodatnie 1²=1≤a²+2ab+b²≤a²+a²+b²+b²=2(a²+b²) stąd 1≤2(a²+b²) dalej jasne.

Saizou : Mila, czasami mi się zdarzają przebłyski

V.Abel: dalej jasne, to nie wprost bd analogiczny, tak ? .. a co z wiekszymi potegami ? . .

Mila: Napisz konkretny przykład. Nie wiem, jak ten dowód nie wprost przeprowadziłeś, więc nie mogę dać Ci odpowiedzi. Jeżeli chodzi o wskazówkę z podręcznika, to raczej stosuj pierwszą. Jeżeli sprawia Ci kłopot ( ale staraj się zrozumieć) dowód z nierównością, nowym ograniczeniem, to stosuj sposób Saizou, dodawanie stronami odpowiednich nierówności.

V.Abel: a co z tym, ze a i b moga byc roznych znakow?

	1
nastepny przykad to a4+b4≥		dla tych samych zalozen i zastanawia mnie, czy mam to po
	8

kolei pokazywac od a+b poprzez kwadraty az do 4−tych poteg czy od razu, tak jak pokazal Vax lub Saizou ? . .

Saizou : dla tych samych założeń czyli a+b≥1

V.Abel: tak

Mila: Abel pisze swój dowód, Saizou mllczy, zabierzemy głos, gdy pojawi się dowód. Abel piszesz wszystko po kolei, Precyzyjną treść zadania, zalożenie, teza, dowód itd

V.Abel: Ok

	1
teza : a4+b4≥
	8

zalozenia: a+b≥1 dowod:

	a+b
zrobie tak a4+b4≥
	8

	a+b
(a2+b2)2−2ab≥
	8

przeksztalcam 8(a⁴+2a²b²+b⁴)≥a+b+16a²b² przeksztalcam

	1		1
8(a4+b4)≥a+b ⇒a4+b4≥		⇒ a4+b4≥		c.k.d.
	8		8

tylko chyba nie jest ok, bo wyszedlem z tego do na koncu niby udowodnilem, to chyba nie tak

V.Abel: treść znacie, przekształcenia pisałem na kartce, ale wam nie jest potrzebne łopatologiczne tłumaczenie, tylko mi , zaświadczam, ze w swoim dowodzie wiem co z czego wynika, ale nie wiem czy jest on logiczny i poprawny

V.Abel: ale co z tym, że a i b mogą być różnych znaków

Saizou : z poprzedniego dowodu mamy że

	1
a2+b2≥		/2
	2

	1
a4+b4=		−2a2b2
	4

i odpisujemy (a²−b²)≥0→a⁴+b⁴≥2a²b²

	1
a4+b4≥		−2a2b2
	4

a⁴+b⁴≥2a²b² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1
2(a4+b4)≥
	4

	1
a4+b4≥
	8

cnu

Saizou :

	a+b
V.Abel to wytłumacz dlaczego a4+b4≥
	4

V.Abel: Saizou, ale ten mój jest w końcu poprawny czy nie? . .

V.Abel: pewnie robiłbym tak samo, no bo skoro a+b≥1, to pewnie podstawiłbym za jedynkę a+b. Tak . . ?

Saizou : a skąd wiesz że a+b=1, również dobrze może być 5

V.Abel: tak mi się wydaje, bo skoro a+b≥1 czyli jest większe lub równe, to wziąłem, że jest równe, nie można tak ?. .

Saizou : to tak jakbyś sprawdził tylko dla tej danej liczby, przynajmniej ja tek sądzę

V.Abel:

	(a+b)4
ale jakbym zrobił a4+b4≥		i się bawił, byłoby ok ? . .
	8

Mila: Nie. Po pierwsze, najpierw założenie, potem teza. Ograniczenie pierwsze jest błędne bo zwiększyłeś licznik z prawej i nie musi to byc prawda.

Mila: Moja odp. dotyczy wpisu z 21:54.

V.Abel: ale to co napisałem tuż przed Tobą Mila, jest ok ? . . ( 22:03)

PW: Tym razem jest potrzebne dwukrotne skorzystanie z nierówności między średnimi:

	a+b		a2+b2
(		)2 ≤		− to jest znana nierówność, już jej nie dowodzimy − po prostu
	2		2

trzeba napisać, że ją znamy. Po podniesieniu stronami do kwadratu

	(a+b)4		a2+b2
(1)		≤ (		)2
	16		2

Stosując tę samą nierówność do wyrażenia po prawej stronie dostaniemy:

	a2+b2		a4+b4
(2) (		)2 ≤		.
	2		2

Z (1) i (2) wynika

	(a+b)4		a4+b4
		≤		,
	16		2

a z założenia 1≤(a+b), a więc

	14		(a+b)4		a4+b4
		≤		≤
	16		16		2

	1
		≤ a4+b4,
	8

cnu.

V.Abel: wnioskuję, że dowód z (21:29) nie jest poprawny jednak, tak? . .

V.Abel: jestem bardzo wdzięczny za pomoc i rozwiązania, ale bardzo zależy mi na wszym komentarzy do dowodu i odpowiedzi na postawione pytania

V.Abel: Waszym*

PW: Dowód z 21:29 − jak sam pisałeś − to były tylko przekształcenia, nigdzie nie skorzystałeś z załozenia. W sumie zamiast udowodnić p⇒q "udowodniłeś", że q⇒q, co zresztą sam napisałeś. Usilnie Cię namawiam od wczoraj − łącznie z dowodami twierdzeń − żebyś opanował nierówność miedzy kwadratem średniej arytmetycznej a średnią arytmetyczną kwadratów. Nie ma lepszego sposobu.

V.Abel: Dziękuję. Po prostu pomimo, że napiszę komentarz, jeśli nawet jest on poprawny, to domagam się potwierdzenie, żeby być pewnym, bo jeśli pytam to nie jestem. Jeżeli chodzi o ten dowód i zależność między średnimi postaram się opanować jak najszybciej, PW mógłbyś jeszcze powiedzieć coś na temat znaków liczb a i b, czy należy robić jakieś dodatkowe założenia, że obie są dodatnie lub jedna + druga − . Wymagany jest komentarz? . .

Mila: 22;03 źle, a+b≥1 zatem zwiększasz lewą stronę i nie wiadomo czy nierówność prawdziwa. Zobacz dowód PW, jeśli wymyślę łatwiejszy , to napiszę, najpierw Ty się pomęcz trochę.

V.Abel: czyli dowód Vax−a na początku też jest zły? . .

Saizou : a czy Vax przedstawił jakiś dowód

V.Abel: spójrz na drugi komentarz w tym temacie (17:39) dowodu nie przedstawił, ale tak chyba w ogóle nie można wnioskując z tego co napisaliście

PW: Vax podpowiadał dobrze

V.Abel: ale działając podobnie jest źle : (22:03)

V.Abel: a co z tymi założeniami dla znaków? .. istotne są czy nie

Mila: Vax, polecił Ci udowodnić i skorzystać. Odnośnie znaków, PW, proszę napisz.

Vax: To co napisałeś o 22:03 jest poprawne, tj z tego będzie wynikała teza, jest to tzw wzmocnienie

	(a+b)4
tezy. Teraz pozostaje jedynie udowodnić, że a4+b4 ≥		, co pozostawiam Tobie
	8

V.Abel: to w końcu to z 22:03 jest ok, bo zdania podzielone...

Vax: No jest ok, przecież do tego samego dochodzi PW pod koniec swojego dowodu (przedostatnia

	(a+b)4		a4+b4
linijka,		≤		, poza tym zastanów się sam, jeżeli udowodnisz, że
	16		2

zachodzi:

	(a+b)4
a4+b4 ≥
	8

	(a+b)4		1
A wiemy, że a+b ≥ 1, więc (a+b)4 ≥ 1, czyli		≥
	8		8

	(a+b)4		1
To dostaniemy, że a4+b4 ≥		≥
	8		8

Co jest naszą tezą..

V.Abel: Ok, za jakiś czas (bliżej nieokreślony) odnowię temat, tylko muszę przeanalizować Wasze pomysły. Dziękuję za pomoc