wskaż że liczby nie są nieskończenie kolejne Kora: wskaż że liczby √2 √3 √11 nie są wyrazami żadnego ciągu arytmetycznego (nieskończenie kolejnymi)

PW: Wbrew pozorom pokazanie tego nie jest wcale łatwe. Dowód metodą nie wprost. Przypuśćmy, że istnieje taki ciąg arytmetyczny o różnicy r, to znaczy dla pewnych naturalnych k i n √11−√2=kr i √3−√2=nr, wówczas liczba

	√11−√2		k
a =		=
	√3−√2		n

byłaby wymierna. Oznaczmy

	√11+√2		k
b =		=		.
	√3+√2		n

Jak łatwo zauważyć

	√11−√2		√11+√2
a•b =		•		= 9,
	√3−√2		√3+√2

skąd wynika, że liczba b też musiałaby być wymierna. Wobec tego suma

	√11−√2		√11+√2
a+b =		+		=
	√3−√2		√3+√2

	(√11−√2)(√3+√2)+(√11+√2)(√3−√2)
=		=
	(√3−√2)(√3+√2)

= 2√33−4 także musiałaby być liczba wymierną, co nie jest prawdą. Pokazaliśmy, że założenie, iż istnieje ciąg arytmetyczny, którego wyrazami są √2, √3 i √11 prowadzi do fałszywego wniosku, założenie to jest więc fałszywe. To kończy dowód. Przyjęliśmy w tym dowodzie jako oczywiste, że liczba 2√33−4 jest niewymierna − jeśli są wątpliwosci, należy wykonać łatwy standardowy dowód (jak dla niewymierności √2 pokazywanej w szkole).

PW: Sprostowanie pomyłki: powinno być Oznaczmy

	√11+√2
b =		.
	√3+√2

	k
To		jest efektem lenistwa (kopiowania i wklejania − zapomniałem skasować niepotrzebny
	n

element).

Kora: dzięki

PW: Oczywiście w poleceniu winno być niekoniecznie kolejnymi − i tak to pokazaliśmy − liczba √3 różniła się od √2 o nr, a liczba √11 różniła się od √2 o kr − nic nie mówiliśmy o k i n, to znaczy niekoniecznie były to kolejne wyrazy ciagu. ("nieskończenie kolejnymi" nie ma sensu, uznałem to za oczywistą pomyłkę przepisywania).