Równanie macierzowe FredS: wiem że chyba wykraczam poza temat ale zna ktoś sposób na rozwiązanie równania macierzowego (po uproszczeiu): A*X=X*B gdzie A i B znamy a X jest niewiadomą.

Artur_z_miasta_Neptuna: A,B,X to macierze kwadratowe takich samych wymiarów jedyna metoda jaka mi przychodzi do głowy −−− wymnożyć 'na chama' i stworzyć n² równań i to rozwiązać

Trivial: Mamy równanie AX = XB Dokonujemy diagonalizacji macierzy B do postaci B = SΛS⁻¹ gdzie macierz S jest macierzą wektorów własnych, a macierz Λ odpowiadającym im wartości własnych. Mamy: AX = XSΛS⁻¹ / *S AXS = XSΛ Dokonujemy podstawienia U = XS AU = UΛ Czyli macierz U jest macierzą wektorów własnych macierzy A odpowiadającym wartościom własnym macierzy B. Czyli żeby istniało rozwiązanie macierze A i B muszą mieć identyczne wartości własne. Znając U macierz X obliczymy: U = XS → X = US⁻¹. Przykład 2×2 (warunek identycznych wartości własnych spełniony)

	1 2 2 4		3 3 2 2
A =		, B =

Chcemy rozwiązać równanie AX = XB Zauważamy, że macierze A i B są osobliwe, zatem λ = 0 jest wartością własną. Ze śladu macierzy odczytujemy drugą wartość własną: λ = 5. Znajdźmy macierz S. Bs = λs → (B − λI)s = 0

	5 0 0 0
Λ =

Dla λ = 5 mamy:

	−2 3 2 −3		3 2
B−5I =		→ s =

Dla λ = 0 mamy:

	1 −1
s =

Zatem

	3 1 2 −1
S =

Poszukajmy wektorów własnych macierzy A. Dla λ = 5 mamy:

	−4 2 2 −1		1 2
A−5I =		→ u =

Dla λ = 0 mamy:

	1 2 2 4		2 −1
A =		→ u =

A zatem:

	1 2 2 −1
U =

Skąd mamy, że rozwiązaniem równania AX = XB jest:

	1 2 2 −1	3 1 2 −1		1	1 2 2 −1	−1 −1 −2 3
X = US−1 =			−1 = −
				6

	1	−5 5 0 −5		5	1 −1 0 1
= −			=
	6			6

Sprawdźmy rozwiązanie:

	1 2 2 4		5	1 −1 0 1		5	1 −1 0 1	3 3 2 2
		*			=
			6			6

	1 2 2 4	1 −1 0 1		1 −1 0 1	3 3 2 2
			=

	1 1 2 2		1 1 2 2
		=

Rozwiązanie działa!

Trivial: Można również zauważyć, że skoro macierze U, S są macierzami wektorów własnych, to również macierze UD₁, SD₂ (gdzie D₁, D₂ − dowolne macierze diagonalne) są macierzami wektorów własnych. Stąd mamy: UD₁ = XSD₂ Czyli X = UD₁D₂⁻¹S⁻¹ = UDS⁻¹. Zatem postać ogólna rozwiązania przykładu to:

	1 2 2 −1	c1 0 0 c2	1 1 2 −3
X =