Zadanie maturalne dryndryn: Mam problem z zadaniem − Dany jest wielomian W(x) stopnia n>2, którego suma wszystkich współczynników jest równa 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta R(x) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x)=(x+1)(x−1) jest równa R(x)=2x+2. Wiem, że to pierwsze zawiłe zdanie oznacza po prostu, że w tym wielomianie W(1)=4, a W(−1)=0.

dryndryn: Jest mi ktoś w stanie pomóc?

dryndryn: ?

Pts: Odświeżam, może teraz jest ktoś w stanie pomóc?

małgolaa: w(1)=4 w(−1)=0 w(x)=q(x)p(x)+r(x) I zał.: w(1)=4 w(1)=q(x)(1+1)(1−1)+ (2+2) ↑ to się zeruję więc: w(1)=4 czyli udowodniliśmy to pierwsze założenie II zał: w(−1)=0 w(−1)=q(x)(−1+1)(−1−1)+ (−2+2) ↑ zeruje się znowu więc: w(−1)=0 czyli drugie założenie udowodnione.

Pts: Ruszyłem trochę głową i przedstawię swoje rozumowanie, wydaje mi się że w zadaniu trzeba dowieść tego iż reszta z dzielenia tego wielomianu jest równa 2x+2... Tak, jeżeli dzielimy wielomian przez dwumian to reszta musi mieć postać liniową tzn. nasze R(x)=ax+b Z treści zadania wiemy, że W(1)=4 i W(−1)=0 (drugie założenie wynika z tego, że suma współczynników parzystych i nie parzystych jest równa). Tak więc: W(x)=p(x)(x−1)(x+1) + R(x) Podstawiając 1 i −1 Otrzymamy: W(−1)=p(x)(−1−1)(−1+1)−a+b=0 ⇒a−b=0⇒a=b W(1)=p(x)(1−1)(1+1)+a+b=4⇒a+b=4 Powstał układ dwóch banalnych równań: a+b=4 a=b Czyli a=2 i b=2 podstawiając to pod naszą resztę otrzymamy R(x)=2x+2 − co należało dowieść. Co Wy na takie rozwiązanie?

J3D: "Z treści zadania wiemy, że W(1)=4 i W(−1)=0 (drugie założenie wynika z tego, że suma współczynników parzystych i nie parzystych jest równa)." Nie mogę tego zrozumieć. Byłby ktoś tak miły i rozpisałby to?

J3D: Już rozumiem z tymi współczynnikami: −1ⁿ gdy n jest nieparzyste wyjdzie −1 −1ⁿ gdy n jest parzyste wyjdzie 1 i dzięki temu współczynniki się wyzerują. Jeszcze tylko to mi z trudno zrozumieć "jeżeli dzielimy wielomian przez dwumian to reszta musi mieć postać liniową tzn. nasze R(x)=ax+b"

ICSP: Jeżeli dzielimy wielomian przez trójmian kwadratowy to reszta musi mieć postać liniową. Nie wiem czemu ktoś napisał że dwumian. Reszta może być co najwyżej o jeden stopień niższa od wielomianu przez który dzielimy.