BARDZO PROSZĘ O POMOC Monika12: Proszę o pomoc w tym zadaniu: W urnie jest 20 kul: 12 bialych i 8 czarnych. Losujemy dwukrotnie bez zwracania po 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania za drugim razem dwóch kul tego samego koloru, pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowano kule różnych kolorów.

PW: Za pierwszym razem można wyciągnąć: − kule różnych kolorów (zdarzenie B₁ − dwie kule białe (zdarzenie B₂) − dwie kule czarne (zdarzenie B₃) Dalej widać, że za drugim razem losujemy odpowiednio z urn zawierających: − 11 kul białych i 7 czarnych (urna C₁) − 10 kul białych i 8 czarnych (urna C₂) − 12 kul białych i 6 czarnych (urna C₃) Jeżeli za pierwszym razem miało miejsce zdarzenie B₁, to drugie losowanie odbywa się z urny C₁. Zdarzenie R₂ − Wylosowanie dwóch kul różnego koloru z tej urny ma prawdopodobieństwo

	11•7		77
P2(R2) =		=
	18 2		153

	77
Tak więc należy przyjąć, że P(R|B1)=P2(R2)=		.
	153

Zwracam uwagę, że P i P₂ oznaczają prawdopodobieństwa w różnych przestrzeniach: P jest prawdopodobieństwem w przestrzeni Ω, w której zdarzeniami elementarnymi są 4−elementowe kombinacje ze zbioru 20−elementowego, a P₂ jest prawdopodobieństwem z przestrzeni Ω₂, w której zdarzeniami elementarnymi są 2−elementowe kombinacje ze zbioru 18−elementowego. Stwierdzenie "Tak więc należy przyjąć, że P(R|B₁)=P₂(R₂)" jest odczytaniem wartości prawdopodobieństwa warunkowego zaszyfrowanej w treści zadania (nie jest zastosowaniem definicji prawdopodobieństwa warunkowego). Formalne zastosowanie definicji do rozwiązania tego zadania wymagałoby skomplikowanych obliczeń − należałoby określić przestrzeń zdarzeń dla losowania czwórek, w których kolejność losowania kul byłaby rozróżnialna, czyli działania na 4−wyrazowych ciągach (zaistniałaby konieczność ponumerowania kul dla ich rozróżniania). Wszystko zależny od tego, na jakim poziomie bawisz się, Moniko12 − może napisz.

Monika12: Jestem w 3 klasie liceum, matematyka rozszerzona. Zrobiłam dziś 9 zadań z prawdopodobieństwa warunkowego, a to było 10 i jakoś nie mogę sobie z nim poradzić.

PW: No to spróbujmy tak: Numerujemy kule zastępując białe liczbami od 1 do 12 czarne liczbami od 13 do 20. Zdarzeniami elementarnymi są wariacje bez powtórzeń (a₁, a₂, a₂, a₄) o wartościach w {1,2,...,20}. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, co wynika ze sposobu losowania. Można więc

	20!
stosować tw. zwane klasyczną definicją prawdopodobieństwa. |Ω|=		.
	15!

Niech A oznacza zdarzenie "za drugim razem wylosowano kule tego samego koloru". A={(x,y,b₁,b₂)∊Ω:{b₁,b₂}⊂{1,2,...,12}∪{b₁,b₂}⊂{13,...,20}, |A|=12•11•18•17+8•7•18•17=18•17(132+56)=18•17•188 Niech B oznacza zdarzenie "za pierwszym razem wylosowano kule różnych kolorów" B={(a,b,x,y)∊Ω: [a∊{1,2,...,12}⋀b∊{13,...,20}]⋁[b∊{1,2,...,12}⋀a∊{13,...,20}] |B|=12•8•18•17+8•12•18•17=2•8•12•17•18=192•18•17 A∩B={(a,b,c,d)∊Ω:...}wiadomo, skracam zapis (można go zastąpić opisem słownym). |A∩B|=12•8•11•10+12•8•7•6+8•12•11•10+8•12•7•6=12•8•2•(11•10+7•6)=192•152

	P(A∩B)		192•152		192•18•17		152		76
P(A|B)=		=		:		=		=
	P(B)		|Ω|		|Ω|		18•17		153

Nie ma pomyłki − ten drugi "niesłychanie uczony" sposób i ten pierwszy − intuicyjny − dały to samo (tyle że za pierwszym razem policzyłem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zadanego, o czym nie napisałem przez roztargnienie u mnie R₂ było zdarzeniem "za drugim razem

	77		76
wyciągnięto kule różnego koloru", 1−		=		).
	153		153

PW: Liczenie |A| można sobie darować − nie było potrzebne do uzyskania wyniku, tak samo jak liczenie |Ω|.